QUESTÃO 3 (valor: 2,5 pontos)
Uma viga é formada por três tábuas de seção retangular de 50 \mathrm{~mm} \times 100 \mathrm{~mm} e está submetida a um força cortante vertical de 2 KN . Determine a força cisalhante em cada prego. Considere espaçamento entre os pregos igual a 80 mm .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma viga formada por três tábuas idênticas de seção retangular 50,mm ×  100,mm empilhadas, sujeita a uma força cortante vertical V=2\,\text{kN}. Precisamos achar a força cisalhante que cada prego suporta, sabendo que o espaçamento entre pregos é s=80,mm. O conteúdo aqui é análise de cisalhamento em vigas compostas e uso do fluxo cortante q=\tfrac{V\,Q}{I}.

Passo 2

Como a seção é simétrica (três tábuas de altura total H=3\cdot100=300,mm), o eixo neutro fica no meio, a
y_\text{NA}=\frac{H}{2}=150\text{ mm}
acima da base.

Passo 3

Calculamos o momento de inércia total I usando o teorema dos eixos paralelos. Cada tábua tem
b=50\text{ mm},\quad h=100\text{ mm},\quad A=b\,h=5000\text{ mm}^2
e inércia em seu próprio centro
I_\text{cent}=\frac{b\,h^3}{12}=\frac{50\cdot100^3}{12}=4{,}167\times10^6\text{ mm}^4.
Para as tábuas de cima e de baixo a distância do centróide ao NA é d=|50-150|=100,mm, então
I_{1}=I_{3} =I_\text{cent}+A\,d^2 =4{,}167\times10^6+5000\cdot100^2 =54{,}167\times10^6\text{ mm}^4.
A tábua do meio tem d=0, logo
I_{2}=I_\text{cent}=4{,}167\times10^6\text{ mm}^4.
Somando,
I=I_1+I_2+I_3 =54{,}167\times10^6+4{,}167\times10^6+54{,}167\times10^6 =112{,}5\times10^6\text{ mm}^4.

Passo 4

Agora o primeiro momento de área Q em cada junta de pregos:
– Junta entre tábua 1 e 2: área acima A_1=50\cdot200=10000,m m^{2}; centróide dessa área em y=(100+300)/2=200,mm, logo distância até NA 200-150=50,mm.
Q_1=A_1\cdot50=10000\cdot50=500000\text{ mm}^3.
– Junta entre tábua 2 e 3: área acima A_2=50\cdot100=5000,m m^{2}; centróide em y=(200+300)/2=250,mm, distância 250-150=100,mm.
Q_2=A_2\cdot100=5000\cdot100=500000\text{ mm}^3.
Observação: ambos os Q são iguais.

Passo 5

O fluxo cortante é
q=\frac{V\,Q}{I} =\frac{2000\cdot500000}{112{,}5\times10^6} \approx8{,}889\\ \mathrm{N/mm}.

Passo 6

Cada prego suporta uma força igual a q multiplicado pelo espaçamento s:
F=q\,s=8{,}889\cdot80\approx711{,}1\text{ N}.

Resposta

Cada prego suporta aproximadamente 711,N de força cisalhante.

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