Uma placa retangular simplesmente apoiada de lados a=1[\mathrm{~m}] e b=2[\mathrm{~m}] possui um carregamento distribuído por sua superfície que pode ser modelado pela expressão q=1000 \sin \left(\frac{\pi x}{a}\right) \sin \left(\frac{\pi y}{b}\right)[\mathrm{N}]. Considerando a espessura da placa é h=0.001[\mathrm{~m}], determine o estado de tensões em:
a) em um ponto no centro da placa (nas superfícies externas e na superfície média);
b) no ponto mais solicitado na borda da placa.
Considere que a placa é feita de aço com E=210[\mathrm{GPa}] e \nu=0.3.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa retangular simplesmente apoiada de dimensões a=1,[m], b=2,[m] e espessura h=0{,}001,[m], sujeita a carga de superfície
q(x,y)=1000\sin\!\Bigl(\frac{\pi x}{a}\Bigr)\sin\!\Bigl(\frac{\pi y}{b}\Bigr)\quad\text{[N/m}^2\text{]}.
O material é aço com módulo de Young E=210,[GPa] e razão de Poisson \nu=0{,}3.
Queremos o estado de tensões de flexão no centro da placa (superfícies externa e média) e, em (b), o ponto mais solicitado na borda.
Para isso usamos a teoria de placas de Kirchhoff:
– O modo de deflexão é w=W\sin(\pi x/a)\sin(\pi y/b).
– A rigidez à flexão é
D=\frac{E\,h^3}{12\,(1-\nu^2)}.
– O coeficiente da equação diferencial fornece
W=\frac{q_0}{D\,K},\quad K=\pi^4\Bigl(\frac1{a^4}+\frac1{b^4}+\frac{2\nu}{a^2b^2}\Bigr).
– Os momentos de flexão são
M_x=-D\Bigl(\frac{\partial^2w}{\partial x^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partial y^2}\Bigr),\qquad M_y=-D\Bigl(\frac{\partial^2w}{\partial y^2}+\nu\frac{\partial^2w}{\partial x^2}\Bigr).
– A tensão normal pela flexão, em z (distância à superfície média), é
\sigma_{xx}=-\frac{M_x\,z}{I},\quad I=\frac{h^3}{12},
e igualmente para \sigma_{yy}.

Passo 2

Calculamos primeiro D e K.
h^3=(0{,}001)^3=10^{-9}\quad\Longrightarrow\quad D=\frac{210\times10^9\cdot10^{-9}}{12\,(1-0,3^2)} =\frac{210}{12\cdot0,91}\approx19{,}23\\ \mathrm{N\cdot m}.
K=\pi^4\Bigl(1+\tfrac1{2^4}+\tfrac{2\cdot0{,}3}{1^2\cdot2^2}\Bigr) =\pi^4\,(1+0{,}0625+0{,}15)\approx\pi^4\cdot1{,}2125\approx97{,}41\cdot1{,}2125\approx118{,}2.
Então
W=\frac{q_0}{D\,K} =\frac{1000}{19{,}23\cdot118{,}2}\approx0{,}44\\ \mathrm m.

Passo 3

Agora os momentos de flexão no centro x=a/2, y=b/2 (ali \sin(\pi x/a)=\sin(\pi y/b)=1):
M_x=D\,W\,\pi^2\Bigl(\tfrac1{a^2}+\tfrac{\nu}{b^2}\Bigr) =19{,}23\cdot0{,}44\cdot\pi^2\Bigl(1+\tfrac{0{,}3}{4}\Bigr) \approx89{,}9\\ \mathrm{N\cdot m/m},
M_y=D\,W\,\pi^2\Bigl(\tfrac1{b^2}+\tfrac{\nu}{a^2}\Bigr) =19{,}23\cdot0{,}44\cdot\pi^2\Bigl(\tfrac1{4}+0{,}3\Bigr) \approx46{,}0\\ \mathrm{N\cdot m/m}.

Passo 4

A tensão de flexão na superfície externa z=\pm h/2 é
\sigma_{xx}=-\frac{M_x\,z}{I} =-\frac{M_x}{I}\,\frac{h}{2}, \quad I=\frac{h^3}{12}\;\Longrightarrow\; \frac{z}{I}=\frac{h/2}{h^3/12}=\frac{6}{h^2}.
Logo, em z=+h/2 (superfície “superior”):
\sigma_{xx}=-\frac{6\,M_x}{h^2} =-\frac{6\cdot89{,}9}{(10^{-3})^2} \approx-5{,}39\times10^8\\ \mathrm{Pa},
\sigma_{yy}=-\frac{6\,M_y}{h^2} \approx-\frac{6\cdot46{,}0}{10^{-6}} \approx-2{,}76\times10^8\\ \mathrm{Pa}.
No meio da espessura z=0 temos \sigma_{xx}=\sigma_{yy}=0.
Em z=-h/2 (superfície inferior) as tensões trocam de sinal (tensão de tração).

Passo 5

Para a borda da placa (por exemplo x=0 ou y=0), o momento de flexão é zero (pois \sin0=0). Logo \sigma_{xx}=\sigma_{yy}=0 nas superfícies externas.
O único esforço não-nulo ali é o esforço cortante transversal Q, mas, pela teoria de Kirchhoff, o esforço cortante interno é desprezado no cálculo de tensões de flexão.

Resposta

a) No ponto central, na superfície externa superior: \sigma_{xx}\approx-539,MPa (compressão), \sigma_{yy}\approx-276,MPa (compressão), \tau_{xy}=0.
No ponto central, na superfície média: \sigma_{xx}=\sigma_{yy}=\tau_{xy}=0.
b) Na borda da placa (qualquer aresta simplesmente apoiada): \sigma_{xx}=\sigma_{yy}=0 nas superfícies externas (apenas esforços de flexão nulos).

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