Questăo 7
A variável aleatória
tem função de distribuição de probabilidades:
0
1
Assinale a opção correta:
a. A variável aleatória
tem valor esperado
b. A probabilidade de que
é
- : A variável aleatória
é uniforme contínua
d. A probabilidade de que
é
e. A variável aleatória
tem valor esperado 21/8
A variável aleatória
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| 0 |
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| 1 |
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a. A variável aleatória
b. A probabilidade de que
d. A probabilidade de que
e. A variável aleatória
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição acumulada
A pergunta pede que eu assinale a opção correta entre as alternativas (a) a (e). As informações relevantes fornecidas são os valores de (F(x)] em cada faixa indicada.]
Passo 2
Entendendo como obter as probabilidades pontuais a partir da função de distribuição
.
Explicação didática: para uma variável aleatória que pode ter massas em pontos (discreta), a função de distribuição
é uma função com saltos nos pontos onde há probabilidade concentrada. A probabilidade de
assumir exatamente um valor
é igual ao tamanho do salto de
em
. Formalmente,
ou seja,
é a diferença entre o valor da CDF em
(valor à direita, por convenção
é contínua pela direita) e o limite da CDF vindo pela esquerda.
Passo 3
Aplicando a regra dos saltos para encontrar o PMF (probabilidades em cada ponto).
- Para
: o valor de imediatamente à direita de é (pela tabela, para ). O valor imediatamente à esquerda é (para ). Logo
- Para
: o valor de imediatamente à direita de é (pela tabela, para ). O valor imediatamente à esquerda é (para ). Logo
- Para
: o valor de imediatamente à direita de é (para ). O valor imediatamente à esquerda é (para ). Logo
Portanto a distribuição de probabilidade (PMF) de
é concentrada nos pontos
com probabilidades
, respectivamente.
Passo 4
Verificação de que as probabilidades somam 1 (checagem importante para não ter erro de interpretação):
Tudo consistente — a interpretação da tabela como CDF com saltos está correta.
Passo 5
Cálculo do valor esperado
.
Explicação didática: para uma variável aleatória discreta que toma valores
com probabilidades
, o valor esperado é a soma ponderada desses valores:
Aqui os termos são fáceis de calcular manualmente sem calculadora porque são frações simples.
Aplicando ao nosso caso:
Substituindo as probabilidades encontradas:
Calcule passo a passo:
Somando as parcelas (pôr em denominador comum
):
Assim
Passo 6
Comparação com as alternativas dadas:
- A alternativa (a) afirma
. Nosso cálculo deu , portanto (a) está errada. - A alternativa (b) afirma
. Calculamos , logo (b) está errada. - A alternativa (c) diz que
é uniforme contínua. Isso é incompatível com a CDF por faixas com saltos (há massas em pontos), então (c) está errada. - A alternativa (d) diz
. Calculamos , então (d) está errada. - A alternativa (e) afirma
, que coincide exatamente com nosso cálculo.
Portanto a alternativa correta é a que afirma
.
Resposta
e. A variável aleatória
tem valor esperado