Questăo 7
A variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades:
F(x) X
0 X<1
1 / 8 1 \leq X<2
1 / 4 2 \leq X<3
1 X \geq 3
Assinale a opção correta:
a. A variável aleatória \mathbf{X} tem valor esperado \mathbf{2 , 5}
b. A probabilidade de que \mathbf{X}=\mathbf{3} é \mathbf{0 , 6 5}
  • : A variável aleatória \boldsymbol{X} é uniforme contínua
    d. A probabilidade de que X=2 é 1 / 4
    e. A variável aleatória \mathbf{X} tem valor esperado 21/8

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada F(x)\) de uma variável aleatória \(X\) por faixas de \(x\): \[F(x)=\begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] 1/8, & 1\le x<2,\\[4pt] 1/4, & 2\le x<3,\\[4pt] 1, & x\ge 3. \end{cases}
A pergunta pede que eu assinale a opção correta entre as alternativas (a) a (e). As informações relevantes fornecidas são os valores de (F(x)] em cada faixa indicada.]

Passo 2

Entendendo como obter as probabilidades pontuais a partir da função de distribuição F(x).
Explicação didática: para uma variável aleatória que pode ter massas em pontos (discreta), a função de distribuição F(x)=P(X\le x) é uma função com saltos nos pontos onde há probabilidade concentrada. A probabilidade de X assumir exatamente um valor a é igual ao tamanho do salto de F em a. Formalmente,
P(X=a)=F(a)-\lim_{x\to a^-}F(x),
ou seja, P(X=a) é a diferença entre o valor da CDF em a (valor à direita, por convenção F é contínua pela direita) e o limite da CDF vindo pela esquerda.

Passo 3

Aplicando a regra dos saltos para encontrar o PMF (probabilidades em cada ponto).
  • Para a=1: o valor de F imediatamente à direita de 1 é F(1)=1/8 (pela tabela, para 1\le x<2). O valor imediatamente à esquerda é 0 (para x<1). Logo
P(X=1)=F(1)-F(1^-)=\frac{1}{8}-0=\frac{1}{8}.
  • Para a=2: o valor de F imediatamente à direita de 2 é F(2)=1/4 (pela tabela, para 2\le x<3). O valor imediatamente à esquerda é F(2^-)=1/8 (para 1\le x<2). Logo
P(X=2)=F(2)-F(2^-)=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.
  • Para a=3: o valor de F imediatamente à direita de 3 é F(3)=1 (para x\ge 3). O valor imediatamente à esquerda é F(3^-)=1/4 (para 2\le x<3). Logo
P(X=3)=F(3)-F(3^-)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Portanto a distribuição de probabilidade (PMF) de X é concentrada nos pontos \{1,2,3\} com probabilidades \frac{1}{8},\frac{1}{8},\frac{3}{4}, respectivamente.

Passo 4

Verificação de que as probabilidades somam 1 (checagem importante para não ter erro de interpretação):
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{3}{4}=\frac{1+1+6}{8}=\frac{8}{8}=1.
Tudo consistente — a interpretação da tabela como CDF com saltos está correta.

Passo 5

Cálculo do valor esperado E[X].
Explicação didática: para uma variável aleatória discreta que toma valores x_i com probabilidades p_i, o valor esperado é a soma ponderada desses valores:
E[X]=\sum_i x_i\,p_i.
Aqui os termos são fáceis de calcular manualmente sem calculadora porque são frações simples.
Aplicando ao nosso caso:
E[X]=1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3).
Substituindo as probabilidades encontradas:
E[X]=1\cdot\frac{1}{8}+2\cdot\frac{1}{8}+3\cdot\frac{3}{4}.
Calcule passo a passo:
1\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{8},\qquad 2\cdot\frac{1}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4},
3\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{4}.
Somando as parcelas (pôr em denominador comum 8): \frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{18}{8}=\frac{21}{8}.
Assim
E[X]=\frac{21}{8}=2{,}625.

Passo 6

Comparação com as alternativas dadas:
  • A alternativa (a) afirma E[X]=2{,}5. Nosso cálculo deu E[X]=21/8=2{,}625, portanto (a) está errada.
  • A alternativa (b) afirma P(X=3)=0{,}65. Calculamos P(X=3)=3/4=0{,}75, logo (b) está errada.
  • A alternativa (c) diz que X é uniforme contínua. Isso é incompatível com a CDF por faixas com saltos (há massas em pontos), então (c) está errada.
  • A alternativa (d) diz P(X=2)=1/4. Calculamos P(X=2)=1/8, então (d) está errada.
  • A alternativa (e) afirma E[X]=21/8, que coincide exatamente com nosso cálculo.
Portanto a alternativa correta é a que afirma E[X]=21/8.

Resposta

e. A variável aleatória X tem valor esperado 21/8

Exercícios relacionados