Questão 1 - Se vocês quisessem aumentar o coeficiente de desempenho de um refrigerador operando em um ciclo de compressão a vapor a sugestão seria, aumentar a temperatura da região fria mantendo a temperatura da região quente constante, ou diminuir a temperatura da região quente mantendo a temperatura da região fria constante? Expliquem.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das duas ações aumentaria o coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador operando em um ciclo de compressão a vapor: (i) aumentar a temperatura da região fria mantendo a temperatura da região quente constante, ou (ii) diminuir a temperatura da região quente mantendo a temperatura da região fria constante.\n
Informações dadas (implícitas na questão): a comparação é feita para o mesmo refrigerador idealizado (vamos usar o caso limite útil: o ciclo reversível de Carnot como referência de eficiência máxima). Não foram fornecidos valores numéricos, então a resposta deve ser em termos gerais de temperaturas. Não se pede cálculo de trabalho nem de calor específico, apenas a tendência do COP ao alterar as temperaturas.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
O coeficiente de desempenho para um refrigerador é definido como a razão entre o calor extraído da região fria e o trabalho fornecido:
\text{COP}=\frac{Q_L}{W}.
Para um refrigerador ideal reversível (ciclo de Carnot) trabalhando entre duas fontes térmicas em temperaturas absolutas \,T_L (região fria) e \,T_H (região quente), a expressão máxima possível para o COP é
\text{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.
Explicação das variáveis:
  • \,T_L é a temperatura absoluta da região fria (em Kelvin).
  • \,T_H é a temperatura absoluta da região quente (em Kelvin).
    Observação importante: as temperaturas devem ser em escala absoluta (Kelvin). Não se pode usar Celsius diretamente nas fórmulas termodinâmicas sem converter.

Passo 3

Interpretação qualitativa da fórmula:\n
Na fórmula \displaystyle \text{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L} vemos que o denominador é a diferença de temperatura \,T_H-T_L (o chamado “heat lift” ou levantamento térmico). Diminuir essa diferença aumenta o COP. Logo:
  • Se aumentarmos \,T_L (mantendo \,T_H fixo), o denominador \,T_H-T_L diminui e o numerador aumenta — ambos colaboram para aumentar o COP.
  • Se diminuirmos \,T_H (mantendo \,T_L fixo), o denominador \,T_H-T_L também diminui, o numerador não muda — isso também aumenta o COP.
    Assim, ambas as ações melhoram o COP. Agora precisamos comparar qual ação tem efeito maior para uma mesma variação de temperatura.

Passo 4

Cálculo das variações (derivadas parciais) para comparar a sensibilidade do COP às mudanças em \,T_L e \,T_H:\n
Escrevemos
\text{COP}(T_L,T_H)=\frac{T_L}{T_H-T_L}.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a \,T_L (mantendo \,T_H constante) e a derivada parcial em relação a \,T_H (mantendo \,T_L constante). Isso nos diz a taxa de variação do COP para pequenas mudanças.
Derivada parcial em relação a \,T_L:
\frac{\partial \text{COP}}{\partial T_L} = \frac{(T_H-T_L)\cdot 1 - T_L\cdot(-1)}{(T_H-T_L)^2} = \frac{T_H-T_L+T_L}{(T_H-T_L)^2} = \frac{T_H}{(T_H-T_L)^2}.
Derivada parcial em relação a \,T_H:
\frac{\partial \text{COP}}{\partial T_H} = \frac{0\cdot (T_H-T_L) - T_L\cdot 1}{(T_H-T_L)^2} = -\frac{T_L}{(T_H-T_L)^2}.

Passo 5

Comparação das magnitudes e conclusão matemática:\n
As magnitudes das taxas são
\left|\frac{\partial \text{COP}}{\partial T_L}\right|=\frac{T_H}{(T_H-T_L)^2}, \qquad \left|\frac{\partial \text{COP}}{\partial T_H}\right|=\frac{T_L}{(T_H-T_L)^2}.
Como \,T_H>T_L (a fonte quente é mais quente que a fria), temos \,T_H>T_L
\left|\frac{\partial \text{COP}}{\partial T_L}\right|> \left|\frac{\partial \text{COP}}{\partial T_H}\right|.
Isto significa que, para uma mesma variação pequena de temperatura (por exemplo, uma mudança de 1 K), aumentar \,T_L aumenta o COP mais do que diminuir \,T_H pelo mesmo valor absoluto. Em outras palavras: o COP é mais sensível a mudanças na temperatura da região fria do que à mesma mudança na temperatura da região quente.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (para fixar a intuição):\n
Escolha típica: \,T_L=270\\ \text{K} e \,T_H=300\\ \text{K}. Então
\text{COP}_0=\frac{270}{300-270}=\frac{270}{30}=9.
Aumentando \,T_L em 5\\ \text{K} (para 275\\ \text{K}), com \,T_H fixo:
\text{COP}_1=\frac{275}{300-275}=\frac{275}{25}=11,
aumento de +2 (units de COP).
Diminuindo \,T_H em 5\\ \text{K} (para 295\\ \text{K}), com \,T_L fixo:
\text{COP}_2=\frac{270}{295-270}=\frac{270}{25}=10,8,
aumento de +1,8. Neste exemplo vemos que aumentar \,T_L foi ligeiramente mais eficaz — consistente com as derivadas.

Passo 7

Interpretação física e observações práticas (pra você levar para a prova):\n
  • Física simples: diminuir o “levantamento térmico” \,T_H-T_L aumenta a eficiência. A maneira mais eficaz (por unidade de variação de temperatura) é aumentar \,T_L, porque o numerador também cresce.
  • Em termos práticos: às vezes é difícil aumentar \,T_L porque pode não ser aceitável para a aplicação (por ex., congelamento, conservação). Diminuir \,T_H pode exigir melhor troca térmica no condensador (usar ar mais frio, água mais fria) ou maior área de condensador. A escolha real depende de restrições práticas.
  • Para a prova: mostre a fórmula de Carnot, compute as derivadas parciais como fizemos, e conclua que aumentar \,T_L tem efeito maior para a mesma variação de temperatura. Termine comentando rapidamente sobre restrições práticas se quiser ganhar pontos extras.

Resposta

Aumentar a temperatura da região fria ( T_L) mantendo a região quente constante.

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