Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = raiz(16 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisarmos a função . O que precisamos fazer é encontrar os pontos críticos, descobrir onde a função está crescente ou decrescente, identificar máximos e mínimos locais, analisar a concavidade da curva, encontrar pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas em cálculo.

Passo 2

Primeiro, para achar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função e ver onde ela é zero ou não existe. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto.
A função é . Podemos reescrevê-la como para facilitar a derivação usando a regra da cadeia.
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe.
  • Derivada igual a zero:
  • Derivada não existe: A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Isso acontece quando , ou seja, .
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento analisando o sinal da derivada .
  • Para entre -4 e 0 ( ):
    O numerador é positivo (já que é negativo) e o denominador é positivo. Então, . A função está crescente nesse intervalo.
  • Para entre 0 e 4 ( ):
    O numerador é negativo (já que é positivo) e o denominador continua positivo. Assim, . A função está decrescente nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais. Nos pontos críticos, a função pode ter máximos ou mínimos.
  • Em e :
    A função é definida apenas para . Em e , . Esses são os pontos mais baixos do gráfico, mas não há máximos ou mínimos locais, pois são extremos do domínio.
  • Em :
    A derivada muda de positiva para negativa passando por , indicando que é um ponto de máximo local. Calculando . Portanto, há um máximo local em .

Passo 6

Vamos analisar a concavidade da função calculando a segunda derivada .
Primeiro, temos . Derivando novamente:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
A segunda derivada é sempre negativa para , o que significa que a função é concava para baixo em todo o seu domínio.

Passo 7

Finalmente, vamos verificar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Como a concavidade é sempre para baixo e não há mudança, não há pontos de inflexão nessa função.

Resposta

a) Pontos Críticos: , e .
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
  • Crescente em
  • Decrescente em
c) Pontos de Máximo e Mínimo Locais:
  • Máximo local em
  • Mínimos nos pontos e (extremos do domínio)
d) Concavidade: Concava para baixo em todo o domínio .
e) Pontos de Inflexão: Nenhum.
f) Esboço do Gráfico: A função representa a parte superior de um círculo com raio 4, centrado na origem. Tem um máximo em e toca o eixo x nos pontos e , com concavidade para baixo.

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