Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
xy = 2 ; x = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação e quer encontrar o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto onde . Isso significa que a gente precisa descobrir a inclinação da reta que toca o gráfico dessa função exatamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica pra encontrar a derivada quando y está ligada a x de forma mais complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos: . Queremos achar a derivada quando .

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , então usamos a regra do produto:

Passo 4

Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
E a derivada do lado direito é zero, porque a derivada de uma constante é zero:
Então temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar :

Passo 6

Precisamos encontrar o valor de quando . Para isso, primeiro vamos achar o valor de quando usando a equação original :

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão da derivada:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente no ponto onde é .

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