24.1a Calcule a freqüència de colisão, z, e a densidade de freqüência de colisão, Z, na amónia, sendo R=190 \mathrm{pm}, a 25^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa . Qual a elevação percentual desses parámetros se a temperatura subir de 10 K , a volume constante?

Passo 1

O enunciado pede a frequência de colisão por molécula, z, e a densidade de frequência de colisão por volume, Z, para amônia à pressão 100,kPa e temperatura 25^\circC T_1=298{,}15 K). Vamos usar a teoria cinética dos gases, em que:
– número de moléculas por volume
n = \frac{p}{k_B\,T}\,,
– velocidade relativa média entre duas moléculas idênticas
\langle v_{\rm rel}\rangle = \sqrt{\frac{16\,k_B\,T}{\pi\,m}}\,,
– seção de choque (diâmetro de colisão \sigma=2R
\sigma_{\rm col} = \pi\,\sigma^2 = \pi\,(2R)^2\,,
– frequência de colisão por molécula
z = n\,\sigma_{\rm col}\,\langle v_{\rm rel}\rangle\,,
– densidade de frequência de colisão
Z = \tfrac12\,n\,z = \tfrac12\,n^2\,\sigma_{\rm col}\,\langle v_{\rm rel}\rangle\,.
Em seguida, veremos o efeito de um aumento de 10 K em volume constante.

Passo 2

Calcular o número de moléculas por volume em T_1=298{,}15 K e p=100\,\text{kPa}:
n = \frac{1{,}00\times10^5}{1{,}381\times10^{-23}\times298{,}15} \approx 2{,}43\times10^{25}\,\text{m}^{-3}.

Passo 3

Massa de uma molécula de \mathrm{NH_3} M=17\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}:
m = \frac{17\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}} \approx 2{,}82\times10^{-26}\,\mathrm{kg}.
Velocidade relativa média
\langle v_{\rm rel}\rangle = \sqrt{\frac{16\,k_B\,T_1}{\pi\,m}} = \sqrt{\frac{16\times1{,}381\times10^{-23}\times298{,}15}{\pi\times2{,}82\times10^{-26}}} \approx 8,61\times10^2\,\mathrm{m/s}.
Seção de choque ( R=190 pm =1{,}90\times10^{-10} m):
\sigma_{\rm col} = \pi\,(2R)^2 = \pi\,(3{,}80\times10^{-10})^2 \approx 4,54\times10^{-19}\,\mathrm{m}^2.
Frequência de colisão por molécula
z = n\,\sigma_{\rm col}\,\langle v_{\rm rel}\rangle \approx 2{,}43\times10^{25}\times4,54\times10^{-19}\times8,61\times10^2 \approx 9,49\times10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Densidade de frequência de colisão
Z = \tfrac12\,n\,z \approx \tfrac12\times2{,}43\times10^{25}\times9,49\times10^9 \approx 1,15\times10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Para um aumento de 10 K a volume constante ( T_2=308{,}15 K), nota-se que n e \sigma_{\rm col} não mudam, e
z\propto \langle v_{\rm rel}\rangle\propto \sqrt{T},\quad Z\propto \sqrt{T}.
A elevação percentual é
\frac{\sqrt{T_2/T_1}-1}{1}\times100\% =\Bigl(\sqrt{\tfrac{308{,}15}{298{,}15}}-1\Bigr)\times100\% \approx 1{,}66\%.

Resposta

z \approx 9,49\times10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}
Z \approx 1,15\times10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{s}^{-1}
Aumentam em \approx 1,66\% quando a temperatura sobe 10 K a volume constante.