Determinar a energia da transição de n_{h}=3 para n_{l}=2 para o átomo de hidrogênio, em joules e em \mathrm{cm}^{-1} (uma unidade comum em espectroscopia, muitas vezes usada como uma unidade de energia, uma vez que \bar{v} é proporcional a E ). Essa transição resulta em uma linha vermelha do espectro de emissão visível do hidrogênio. (As soluções dos exercícios são apresentadas no Apêndice A.)

Passo 1

O enunciado pede a energia da transição eletrônica do átomo de hidrogênio de n_{h}=3 para n_{l}=2, em joules e em \mathrm{cm}^{-1}. O conteúdo principal é o modelo de Bohr ou a fórmula de Rydberg, que relaciona o vetor de onda (número de onda) \tilde\nu à diferença dos inversos dos quadrados dos números quânticos, e depois a conversão entre número de onda e energia via E=h c\,\tilde\nu.

Passo 2

Usamos a fórmula de Rydberg para o número de onda da linha de emissão:
\tilde\nu \;=\; R_H\Bigl(\frac{1}{n_{l}^{2}}-\frac{1}{n_{h}^{2}}\Bigr),
onde R_H=109\,677{,}6\:\mathrm{cm^{-1}}, n_{l}=2 e n_{h}=3. Assim,
\tilde\nu \;=\;109\,677{,}6\Bigl(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\Bigr) =109\,677{,}6\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\Bigr) =109\,677{,}6\;\frac{5}{36}.

Passo 3

Calculando numericamente,
\tilde\nu =109\,677{,}6\times\frac{5}{36}\approx15\,233\:\mathrm{cm^{-1}}.

Passo 4

Para obter a energia em joules, usamos
E = h\,c\,\tilde\nu,
onde h=6{,}626\times10^{-34}\:\mathrm{J\,s} e c=2{,}998\times10^{10}\:\mathrm{cm/s}. Então
E =6{,}626\times10^{-34}\times2{,}998\times10^{10}\times15\,233 \approx3{,}03\times10^{-19}\:\mathrm{J}.

Resposta

Energia da transição:
E\approx3{,}03\times10^{-19}\:\mathrm{J}
Número de onda:
\tilde\nu\approx1{,}52\times10^{4}\:\mathrm{cm^{-1}}