Explique o significado do efeito Doppler. Justifique por que o alargamento de linha devido ao efeito Doppler, previsto pela Equação 21-5, aumenta com o aumento da temperatura e com a diminuição da massa.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o efeito Doppler e justificar por que o alargamento de linha espectral devido a esse efeito, dado pela Equação 21-5
\Delta\nu_D = \frac{\nu_0}{c}\,\sqrt{\frac{2kT}{m}}\,,
aumenta quando a temperatura T cresce e quando a massa m da partícula emissor–absorvente diminui. Vamos usar conceitos de efeito Doppler não-relativístico e distribuição de velocidades Maxwell-Boltzmann.

Passo 2

O efeito Doppler descreve como a frequência observada \nu_{\rm obs} de uma onda muda se a fonte ou o observador se move com velocidade v ao longo da linha de visão. No limite não-relativístico temos
\nu_{\rm obs} \approx \nu_0\Bigl(1 + \frac{v}{c}\Bigr)\,,
onde \nu_0 é a frequência de repouso e c é a velocidade da luz. Para um gás em equilíbrio térmico, cada átomo ou molécula tem uma componente de velocidade v variável, gerando um espalhamento de frequências ao invés de um único valor \nu_0.

Passo 3

A distribuição de velocidades numa direção (digamos x) segue Maxwell-Boltzmann, com densidade
f(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\!\Bigl(-\frac{m\,v_x^2}{2kT}\Bigr)\,.
O espalhamento em frequência é então uma convolução dessa distribuição com a relação v_x\leftrightarrow\Delta\nu=(v_x/c)\,\nu_0, resultando num perfil gaussiano de desvio padrão
\sigma_\nu = \frac{\nu_0}{c}\,\sigma_{v_x}\,,
em que
\sigma_{v_x} = \sqrt{\frac{kT}{m}}\,.

Passo 4

O alargamento total é normalmente dado em termos de largura a meio-máximo (FWHM), que para um gaussiano vale
\Delta\nu_D = 2\sqrt{2\ln2}\,\sigma_\nu = 2\sqrt{2\ln2}\;\frac{\nu_0}{c}\sqrt{\frac{kT}{m}}\,.
Se absorvemos o fator constante 2\sqrt{2\ln2} na definição da Eq. 21-5, obtemos
\Delta\nu_D = \frac{\nu_0}{c}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\,.
Dessa expressão vemos imediatamente que
  1. \Delta\nu_D\propto\sqrt{T}: quanto maior a temperatura, maior a dispersão de velocidades térmicas e, portanto, maior o alargamento.
  2. \Delta\nu_D\propto1/\sqrt{m}: quanto menor a massa das partículas, maior a velocidade térmica típica \sqrt{kT/m} e maior será o alargamento.

Resposta

O efeito Doppler faz com que diferentes velocidades térmicas dos átomos ou moléculas desloquem a frequência observada em proporção a v/c, transformando uma linha estreita em um perfil gaussiano de largura
\Delta\nu_D = \frac{\nu_0}{c}\sqrt{\frac{2kT}{m}}\,.
Como essa largura cresce com \sqrt{T} e decresce com \sqrt{m}, ela aumenta quando T aumenta e quando m diminui.

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