21.2 A polícia rodoviária, utilizando um radar, fez o levantamento das velocidades dos carros que passaram nos dois sentidos de uma estrada sob um viaduto. As velocidades (em quilómetros por hora), o número de carros (entre parênteses) e o sentido do movimento (para leste, L , ou para o oeste, O ) foram os seguintes: 80 \mathrm{~L}(40), 85 \mathrm{~L}(62), 90 \mathrm{~L}(53), 95 \mathrm{~L}(12), 100 \mathrm{~L}(2) ; 80 \mathrm{O}(38), 85 \mathrm{O}(59), 90 \mathrm{O}(50), 95 \mathrm{O}(10), 100 \mathrm{O}(2). Quais são (a) velocidade média, (b) o módulo médio da velocidade \mathrm{e}(\mathrm{c}) a velocidade média quadrática?

Passo 1

O enunciado dá as velocidades dos carros nos dois sentidos: para leste (consideradas positivas) com velocidades \{80,85,90,95,100\} e números de carros \{40,62,53,12,2\}, e para oeste (consideradas negativas) com as mesmas velocidades em módulo e números \{38,59,50,10,2\}. Queremos calcular (a) a média ponderada das velocidades \bar v, (b) a média dos módulos das velocidades \langle|v|\rangle e (c) a velocidade média quadrática v_{\rm rms}. Usaremos definição de média ponderada e, para (c),
v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{\sum n_i\,v_i^2}{\sum n_i}}\,.

Passo 2

Calcular o total de carros e as somas de interesse. \displaystyle N=\sum_{\text{L}}n_i+\sum_{\text{O}}n_i=169+159=328.
Somatório das velocidades com sinal:
\sum n_i v_i=(40\cdot80+62\cdot85+53\cdot90+12\cdot95+2\cdot100) -(38\cdot80+59\cdot85+50\cdot90+10\cdot95+2\cdot100)=14580-13705=875.
Somatório dos valores absolutos:
\sum n_i|v_i|=14580+13705=28285.
Somatório dos quadrados:
\sum n_i v_i^2 =78\cdot6400+121\cdot7225+103\cdot8100+22\cdot9025+4\cdot10000 =2446275.

Passo 3

Calcular a velocidade média (com sinal)
\bar v=\frac{1}{N}\sum n_i v_i =\frac{875}{328}\approx2{,}67\text{ km/h}.

Passo 4

Calcular o módulo médio da velocidade
\langle|v|\rangle =\frac{1}{N}\sum n_i|v_i| =\frac{28285}{328}\approx86{,}2\text{ km/h}.

Passo 5

Calcular a velocidade média quadrática
v_{\rm rms} =\sqrt{\frac{1}{N}\sum n_i v_i^2} =\sqrt{\frac{2446275}{328}} \approx\sqrt{7458{,}16} \approx86{,}4\text{ km/h}.

Resposta

(a) \bar v\approx2{,}67 km/h
(b) \langle|v|\rangle\approx86{,}2 km/h
(c) v_{\rm rms}\approx86{,}4 km/h