No R^2 definimos a adição por (x1, y1)+(x1, y1)=(0, y1-y2) e a multiplicação por escalar como a(x, y)=(a x, a y), para todo a in R. Nessas condições V é espaço vetorial sobre R ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se, no conjunto R^2 com uma definição diferente de adição e multiplicação por escalar, esse conjunto ainda forma um espaço vetorial sobre os números reais R. Para resolver isso, precisamos lembrar dos axiomas de espaço vetorial e verificar se nossa definição de adição e multiplicação por escalar os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como a adição está definida aqui. Em vez de somar componente a componente, temos:
(x1, y1) + (x2, y2) = (0, y1 - y2)
Isso significa que a primeira coordenada sempre será 0, e a segunda será a diferença das segundas coordenadas dos vetores que estamos somando.

Passo 3

Agora, a multiplicação por escalar está definida normalmente:
a(x, y) = (a x, a y)
Aqui, multiplicamos cada componente do vetor pelo número real a.

Passo 4

Vamos lembrar dos axiomas de espaço vetorial que precisamos verificar:
  1. Comutatividade da adição: u + v = v + u
  2. Associatividade da adição: (u + v) + w = u + (v + w)
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que v + 0 = v
  4. Elemento inverso da adição: Para todo v, existe -v tal que v + (-v) = 0
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: a(bv) = (ab)v
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1v = v
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial: a(u + v) = au + av
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (a + b)v = av + bv
Vamos verificar cada um desses com nossa definição de adição e multiplicação.

Passo 5

1. Comutatividade da adição:
(x1, y1) + (x2, y2) = (0, y1 - y2)
(x2, y2) + (x1, y1) = (0, y2 - y1)
A menos que y1 = y2, y1 - y2 neq y2 - y1. Então, a adição não é comutativa.

Passo 6

Já que a comutatividade não é satisfeita, não precisamos verificar todos os outros axiomas. Para um conjunto ser um espaço vetorial, todos os axiomas precisam ser atendidos. Como um dos principais axiomas falhou, podemos concluir que V não é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Não, V não é um espaço vetorial sobre R porque a adição definida não é comutativa, violando os axiomas necessários para um espaço vetorial.

Exercícios relacionados