r(t) = < t, cos(2t), sen(2t) >

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função vetorial . Essa função descreve uma trajetória no espaço tridimensional em função do tempo . O conteúdo que vamos precisar para resolver isso envolve cálculo vetorial, especificamente como diferenciar funções vetoriais. Assim, vamos calcular a derivada dessa função para entender a velocidade do objeto que está se movendo ao longo dessa trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para diferenciar uma função vetorial, a gente diferencia cada componente separadamente em relação a . Então, vamos olhar para cada parte de :
  • A primeira componente é .
  • A segunda componente é .
  • A terceira componente é .

Passo 3

Vamos começar diferenciando a primeira componente . A derivada de em relação a é simplesmente 1, porque a taxa de variação de em relação a é constante.
Então:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a segunda componente . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Aqui, , então .
Então:

Passo 5

Por fim, vamos diferenciar a terceira componente . Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e multiplicamos pela derivada de em relação a .
Aqui, , então .
Então:

Resposta

Então, a derivada da função vetorial é:

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