r(t) = (sen(t), t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função vetorial . Essa função descreve uma curva no plano, onde cada valor de t corresponde a um ponto . Hoje, vamos explorar o que essa função representa e como analisar alguns de seus aspectos básicos, como a velocidade e a trajetória da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial como mapeia um valor escalar t para um ponto no plano através das componentes e t. Aqui, t geralmente representa o tempo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a t, que nos dá a velocidade da partícula que está se movendo ao longo da curva. A derivada de r(t) é:
Isso significa que a velocidade em qualquer instante t é dada pelo vetor .

Passo 4

Vamos interpretar esse resultado. A componente cos(t) indica a velocidade na direção horizontal (eixo x), e a componente 1 indica que a velocidade na direção vertical (eixo y) é constante. Isso significa que a partícula está se movendo para cima a uma taxa constante, enquanto seu movimento horizontal varia de acordo com o cosseno de t.

Passo 5

Além disso, podemos analisar a trajetória dessa curva. Como e , podemos eliminar o parâmetro t para obter a equação cartesiana da curva:
Essa é uma função senoidal invertida, onde o valor de x oscila entre -1 e 1 à medida que y aumenta linearmente. Isso resulta em uma curva que sobe continuamente no eixo y, com ondulações horizontais.

Resposta

A função vetorial descreve uma curva que se move para cima no eixo y com velocidade vertical constante e oscila horizontalmente de acordo com o cosseno de t. A velocidade da partícula em qualquer instante t é dada pelo vetor .

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