Racionalize os denominadores das frações. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e os denominadores sāo nāo nulos.
5 / \sqrt{5}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração dada. A fração que temos é
\frac{5}{\sqrt{5}}.
Informações relevantes fornecidas ou assumidas:
  • O denominador \sqrt{5} é não nulo (de fato \sqrt{5}>0).
  • Podemos usar propriedades elementares de radicais e frações para eliminar a raiz do denominador.

Passo 2

Explicando a ideia de racionalizar (mini-aula rápida e prática). Quando temos uma fração com raiz quadrada no denominador, por exemplo \dfrac{a}{\sqrt{b}}, uma técnica simples é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{b}. Isso é multiplicar por 1, portanto não altera o valor da fração, mas transforma o denominador em (\sqrt{b})^2=b, que é um número racional (não tem mais raiz). A propriedade usada é:
(\sqrt{b})^2=b,\qquad\text{para }b\ge0.
No nosso caso a=5 e b=5, então vamos multiplicar por \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5}:
\frac{5}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2}.

Passo 4

Usando (\sqrt{5})^2=5 o denominador fica 5, então
\frac{5\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2=\;5}=\frac{5\sqrt{5}}{5}.
Agora simplificamos cancelando o fator comum 5 no numerador e no denominador (regra: dividir numerador e denominador pelo mesmo número não nulo preserva a fração):
\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}.

Passo 5

Resumo final e verificação rápida: a fração inicial \dfrac{5}{\sqrt{5}} foi transformada em \sqrt{5}. Numericamente, \sqrt{5}\approx2,236 e \dfrac{5}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{2,236\ldots}\approx2,236\ldots, portanto os dois são iguais.

Resposta

\sqrt{5}

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