Racionalize os denominadores das frações. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e os denominadores sāo nāo nulos.
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração
. Foi dito que, sempre que necessário, podemos supor que as variáveis são positivas e os denominadores não nulos — portanto aqui assumimos
(isso garante que
está bem definido e não é zero). O que precisamos: obter uma expressão equivalente em que não haja raiz no denominador.
Passo 2
Explicar o que significa “racionalizar o denominador” neste caso simples: quando o denominador é uma raiz quadrada isolada, por exemplo
, a técnica básica é multiplicar numerador e denominador por essa mesma raiz, ou seja por
. Isso não altera o valor da fração (multiplicamos por
na forma
) e transforma
em
, eliminando a raiz do denominador.
Passo 3
Relembrando propriedades que usaremos:
- Para
, . - Regra de potências:
. - Produto de raízes iguais:
.
Passo 4
Aplicar a multiplicação por
:
Passo 5
Simplificar o denominador usando
:
Passo 6
Agora simplificar a potência no numerador dividindo por
. Usando a regra de potências ou convertendo em expoentes:
. Dividindo por
dá
. Em forma com raiz,
. Então a expressão racionalizada é
Passo 7
Verificação rápida: se preferir fazer sem expoentes, veja que
pois um dos fatores
no numerador cancela com o
do denominador. Tudo consistente.