Racionalize os denominadores das frações. Sempre que necessário, suponha que as variáveis sāo positivas e os denominadores sāo nāo nulos.
x^{2} / \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x}}. Foi dito que, sempre que necessário, podemos supor que as variáveis são positivas e os denominadores não nulos — portanto aqui assumimos x>0 (isso garante que \sqrt{x} está bem definido e não é zero). O que precisamos: obter uma expressão equivalente em que não haja raiz no denominador.

Passo 2

Explicar o que significa “racionalizar o denominador” neste caso simples: quando o denominador é uma raiz quadrada isolada, por exemplo \sqrt{x}, a técnica básica é multiplicar numerador e denominador por essa mesma raiz, ou seja por \sqrt{x}. Isso não altera o valor da fração (multiplicamos por 1 na forma \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) e transforma \sqrt{x}\cdot\sqrt{x} em x, eliminando a raiz do denominador.

Passo 3

Relembrando propriedades que usaremos:
  • Para x>0, \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • Regra de potências: x^{a}/x^{b}=x^{a-b}.
  • Produto de raízes iguais: \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x.

Passo 4

Aplicar a multiplicação por \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:
\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{x^{2}\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,\sqrt{x}}.

Passo 5

Simplificar o denominador usando \sqrt{x}\,\sqrt{x}=x:
\frac{x^{2}\sqrt{x}}{x}.

Passo 6

Agora simplificar a potência no numerador dividindo por x. Usando a regra de potências ou convertendo em expoentes: x^{2}\sqrt{x}=x^{2}x^{1/2}=x^{2+\tfrac{1}{2}}=x^{5/2}. Dividindo por x=x^{1} x^{5/2-1}=x^{3/2}. Em forma com raiz, x^{3/2}=x\sqrt{x}. Então a expressão racionalizada é
x\sqrt{x}\quad\text{(equivalente a }\;x^{3/2}\text{)}.

Passo 7

Verificação rápida: se preferir fazer sem expoentes, veja que
\frac{x^{2}\sqrt{x}}{x}=\frac{x\cdot x\sqrt{x}}{x}=x\sqrt{x},
pois um dos fatores x no numerador cancela com o x do denominador. Tudo consistente.

Resposta

x\sqrt{x}

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