Racionalize os denominadores das seguintes frações:
\frac{2+\sqrt{3}}{3-\sqrt{8}};

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração \frac{2+\sqrt{3}}{3-\sqrt{8}}.
Informações dadas: o numerador é \;2+\sqrt{3}\; e o denominador é \;3-\sqrt{8}\;.
Objetivo: transformar a fração em outra equivalente cujo denominador não contenha raízes.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): quando temos um denominador do tipo \;a-b\; com b envolvendo raiz, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \;a+b\;. A identidade usada é
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Aqui a e b são quaisquer expressões; o importante é que o produto elimina o termo misto e vira diferença de quadrados. Isso costuma eliminar raízes quando b é uma raiz simples.

Passo 3

Identificamos a e b no nosso denominador. Temos \;3-\sqrt{8}\;, então
a=3,\qquad b=\sqrt{8}.
Antes de aplicar, simplificamos \sqrt{8}:
\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}.
Portanto o denominador pode ser escrito como \;3-2\sqrt{2}\; e o conjugado é \;3+2\sqrt{2}\;.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \;3+2\sqrt{2}\; (isto é multiplicar por 1, não muda o valor):
\frac{2+\sqrt{3}}{3-2\sqrt{2}}\cdot\frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}.

Passo 5

Calculamos o denominador usando a diferença de quadrados (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aqui a=3 e b=2\sqrt{2}, então
(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-(2^2)(\sqrt{2})^2=9-4\cdot 2=9-8=1.
Observação do passo: (2\sqrt{2})^2 = 4\cdot 2 = 8.

Passo 6

Agora expandimos o numerador (2+\sqrt{3})(3+2\sqrt{2}) fazendo as multiplicações termo a termo (distribuição):
\begin{aligned} (2+\sqrt{3})(3+2\sqrt{2}) &= 2\cdot 3 + 2\cdot 2\sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot 3 + \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2} \\\ &= 6 + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{6}. \end{aligned}
Expliquei cada produto: 2\cdot3=6, 2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}, \sqrt{3}\cdot3=3\sqrt{3}, \sqrt{3}\cdot2\sqrt{2}=2\sqrt{6}.

Passo 7

Como o denominador ficou 1 (veja passo 5), a fração toda é igual ao numerador obtido:
6+4\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2\sqrt{6}.
Este é o formulário racionalizado: o denominador não tem mais raízes.

Resposta

6+4\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2\sqrt{6}