Racionalize os denominadores das seguintes frações:
;
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração
.
Informações dadas: o numerador é e o denominador é
.
Objetivo: transformar a fração em outra equivalente cujo denominador não contenha raízes.
Informações dadas: o numerador é
Objetivo: transformar a fração em outra equivalente cujo denominador não contenha raízes.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática): quando temos um denominador do tipo
com
envolvendo raiz, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
. A identidade usada é
Aqui
e
são quaisquer expressões; o importante é que o produto elimina o termo misto e vira diferença de quadrados. Isso costuma eliminar raízes quando
é uma raiz simples.
Passo 3
Identificamos
e
no nosso denominador. Temos
, então
Antes de aplicar, simplificamos
:
Portanto o denominador pode ser escrito como
e o conjugado é
.
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
(isto é multiplicar por
, não muda o valor):
Passo 5
Calculamos o denominador usando a diferença de quadrados
. Aqui
e
, então
Observação do passo:
.
Passo 6
Agora expandimos o numerador
fazendo as multiplicações termo a termo (distribuição):
Expliquei cada produto:
,
,
,
.
Passo 7
Como o denominador ficou
(veja passo 5), a fração toda é igual ao numerador obtido:
Este é o formulário racionalizado: o denominador não tem mais raízes.