Racionalize os denominadores das seguintes frações:
\frac{4}{\sqrt{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a fração \dfrac{4}{\sqrt{3}+1} e pede para racionalizar o denominador.
Informações relevantes:
  • O numerador é 4.
  • O denominador é \sqrt{3}+1, que contém uma raiz quadrada (número irracional).
  • Objetivo: reescrever a fração equivalente de modo que o denominador não contenha radicais.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando o denominador é uma soma envolvendo uma raiz, uma forma simples de eliminar a raiz é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de a+b é a-b. A razão é a identidade
(a+b)(a-b)=a^2-b^2,
que transforma um produto com soma/ diferença numa diferença de quadrados — e isso elimina a raiz se a for uma raiz.
Aqui, identifique a=\sqrt{3} e b=1. O conjugado de \sqrt{3}+1 é \sqrt{3}-1. Vou multiplicar numerador e denominador por \sqrt{3}-1 (isso não altera o valor da fração).

Passo 3

Multiplicando por 1 escrita como \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}:
\frac{4}{\sqrt{3}+1}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}.
Agora calculo numerador e denominador separadamente:
  • Numerador: 4(\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}-4.
  • Denominador: usando a identidade de diferença de quadrados,
(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2.
Portanto a fração fica
\frac{4\sqrt{3}-4}{2}.

Passo 4

Simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{4\sqrt{3}-4}{2}=\frac{2(2\sqrt{3}-2)}{2}=2\sqrt{3}-2.
Também se pode escrever em forma fatorada:
2(\sqrt{3}-1).
Ambas são formas simplificadas equivalentes e têm o denominador racional (na verdade sem denominador).

Resposta

2(\sqrt{3}-1)