Racionalize os denominadores das seguintes frações:
\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}};

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}.
Informações dadas: o numerador é \,2\sqrt{3}\, e o denominador é \,\sqrt{8}-\sqrt{5}\,.
Objetivo final: reescrever a fração equivalente sem raízes no denominador.

Passo 2

Idéia-chave (explicação didática): quando temos um denominador da forma \,a-b\, com raízes, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \,a+b\,. Isso funciona porque
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
ou seja, o produto elimina o termo misto e deixa a diferença de quadrados que, quando a e b são raízes quadradas, resulta em números racionais (sem raiz no denominador). Aqui a e b serão raízes.

Passo 3

Identifico a=\sqrt{8} e b=\sqrt{5}. Multiplico numerador e denominador pela conjugada \sqrt{8}+\sqrt{5}:
\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{8}+\sqrt{5}}{\sqrt{8}+\sqrt{5}} =\frac{2\sqrt{3}\,(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}.

Passo 4

Calculo o denominador usando a identidade da diferença de quadrados:
(\sqrt{8})^{2}-(\sqrt{5})^{2}=8-5=3.

Passo 5

Substituindo no resultado obtemos
\frac{2\sqrt{3}\,(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3}.
Agora vamos simplificar o numerador termo a termo para remover produtos de raízes.

Passo 6

Simplifico os produtos de raízes:
\sqrt{3}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{24} \quad\text{e}\quad \sqrt{3}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{15}.
Como \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}, temos
2\sqrt{3}\,(\sqrt{8}+\sqrt{5})=2\big( \sqrt{3}\sqrt{8}+\sqrt{3}\sqrt{5}\big) =2\big(2\sqrt{6}+\sqrt{15}\big)=4\sqrt{6}+2\sqrt{15}.

Passo 7

Portanto a fração fica
\frac{4\sqrt{6}+2\sqrt{15}}{3}.
Se quiser, pode fatorar \frac{2}{3} em evidência:
\frac{2}{3}\big(2\sqrt{6}+\sqrt{15}\big),
mas ambas as formas são equivalentes e têm o denominador racionalizado.

Resposta

\displaystyle \frac{4\sqrt{6}+2\sqrt{15}}{3}