Racionalize os denominadores das seguintes frações:
;
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração
.
Informações dadas: o numerador é e o denominador é
.
Objetivo final: reescrever a fração equivalente sem raízes no denominador.
Informações dadas: o numerador é
Objetivo final: reescrever a fração equivalente sem raízes no denominador.
Passo 2
Idéia-chave (explicação didática): quando temos um denominador da forma
com raízes, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada
. Isso funciona porque
ou seja, o produto elimina o termo misto e deixa a diferença de quadrados que, quando
e
são raízes quadradas, resulta em números racionais (sem raiz no denominador). Aqui
e
serão raízes.
Passo 3
Identifico
e
. Multiplico numerador e denominador pela conjugada
:
Passo 4
Calculo o denominador usando a identidade da diferença de quadrados:
Passo 5
Substituindo no resultado obtemos
Agora vamos simplificar o numerador termo a termo para remover produtos de raízes.
Passo 6
Simplifico os produtos de raízes:
Como
, temos
Passo 7
Portanto a fração fica
Se quiser, pode fatorar
em evidência:
mas ambas as formas são equivalentes e têm o denominador racionalizado.