Racionalize as expressões
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar a expressão
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. O objetivo é eliminar raízes do denominador (ficar sem radicais no denominador).
Passo 2
Ideia-chave (fórmula que vou usar): para quaisquer
e
vale a identidade
Explicando essa identidade: ela é uma fatoração do somatório de cubos. Se multiplicarmos um binômio
pelo trinômio
, os termos se combinam de modo que apenas sobram
e
. Essa é a ferramenta padrão para racionalizar denominadores que contêm soma (ou diferença) de raízes cúbicas.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso: identifique
e
. Observação:
pode ser visto como
, então
e
. Assim, se multiplicarmos o denominador
pelo trinômio
teremos, pelo lado direito da identidade,
que é um número racional. Logo, esse trinômio é o multiplicador correto para racionalizar.
Passo 4
Multiplico numerador e denominador por esse trinômio:
Passo 5
Agora desenvolvo o produto no numerador passo a passo. Chamo
para facilitar a escrita (lembre-se que
).
Calculo
Calculo
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Substituo
e volto a escrever
em termos de raízes quando for útil:
Posso escrever
e
, portanto o numerador fica
Passo 7
Simplifico fatorando
no numerador e reduzindo com o denominador
: