Racionalize as expressões
g) \frac{1+\sqrt[3]{3}}{3+\sqrt[3]{3}}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar a expressão
\frac{1+\sqrt[3]{3}}{3+\sqrt[3]{3}}.
Informações dadas: o numerador é 1+\sqrt[3]{3} e o denominador é 3+\sqrt[3]{3}. O objetivo é eliminar raízes do denominador (ficar sem radicais no denominador).

Passo 2

Ideia-chave (fórmula que vou usar): para quaisquer A e B vale a identidade
(A+B)(A^{2}-AB+B^{2})=A^{3}+B^{3}.
Explicando essa identidade: ela é uma fatoração do somatório de cubos. Se multiplicarmos um binômio A+B pelo trinômio A^{2}-AB+B^{2}, os termos se combinam de modo que apenas sobram A^{3} e B^{3}. Essa é a ferramenta padrão para racionalizar denominadores que contêm soma (ou diferença) de raízes cúbicas.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso: identifique A=\sqrt[3]{3} e B=3. Observação: B=3 pode ser visto como \sqrt[3]{27}, então B^{3}=27 e A^{3}=3. Assim, se multiplicarmos o denominador 3+\sqrt[3]{3} pelo trinômio
\left(\sqrt[3]{3}\right)^{2}-3\sqrt[3]{3}+9
teremos, pelo lado direito da identidade,
\left(\sqrt[3]{3}\right)^{3}+3^{3}=3+27=30,
que é um número racional. Logo, esse trinômio é o multiplicador correto para racionalizar.

Passo 4

Multiplico numerador e denominador por esse trinômio:
\frac{1+\sqrt[3]{3}}{3+\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\left(\sqrt[3]{3}\right)^{2}-3\sqrt[3]{3}+9}{\left(\sqrt[3]{3}\right)^{2}-3\sqrt[3]{3}+9} = \frac{(1+\sqrt[3]{3})\big(\left(\sqrt[3]{3}\right)^{2}-3\sqrt[3]{3}+9\big)}{30}.

Passo 5

Agora desenvolvo o produto no numerador passo a passo. Chamo c=\sqrt[3]{3} para facilitar a escrita (lembre-se que c^{3}=3).
Calculo
(1+c)(c^{2}-3c+9)=c^{2}-3c+9+c^{3}-3c^{2}+9c.
Agrupando termos semelhantes:
= c^{3} + (c^{2}-3c^{2}) + (-3c+9c) + 9 = c^{3} -2c^{2} +6c +9.

Passo 6

Substituo c^{3}=3 e volto a escrever c em termos de raízes quando for útil:
c^{3}-2c^{2}+6c+9 = 3 -2c^{2} +6c +9 = 12 +6c -2c^{2}.
Posso escrever c=\sqrt[3]{3} e c^{2}=\sqrt[3]{9}, portanto o numerador fica
12 +6\sqrt[3]{3} -2\sqrt[3]{9}.

Passo 7

Simplifico fatorando 2 no numerador e reduzindo com o denominador 30:
\frac{12 +6\sqrt[3]{3} -2\sqrt[3]{9}}{30} = \frac{2\big(6+3\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}\big)}{30} = \frac{6+3\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}}{15}.

Resposta

\frac{6+3\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}}{15}