Racionalize as expressões
h)
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Passo 1
O enunciado pede para racionalizar a expressão
Informações dadas que vamos usar:
- Está presente a raiz cúbica de
e a raiz cúbica de . - Observação útil que vou usar:
.
Não faço ainda nenhum cálculo; só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Para deixar a escrita mais limpa, defino a letra
Então
e também vale
A expressão fica escrita como
Agora é mais fácil manipular algebricamente.
Passo 3
Explicando a ideia para racionalizar: com raízes cúbicas não funciona a “conjugada” simples como em raízes quadradas. Em vez disso, usamos um fator que ao multiplicar o denominador transforme potências em algo que possamos simplificar usando
. Uma escolha clássica é multiplicar por
pois produtos envolvendo
e
simplificam usando
. Então multiplico numerador e denominador por esse fator:
Passo 4
Calculo o produto do denominador passo a passo:
Agrupando termos:
Agora simplifico termos iguais (
cancela e
cancela):
Como
, tem-se
. Portanto
Logo o denominador simplifica para
. Assim a expressão ficou
Passo 5
Ainda temos um
no denominador. Para remover completamente raízes do denominador usamos a relação
para escrever
de forma sem divisão por raiz:
Reescrevo a fração dividindo por
:
Agora substituo
:
Passo 6
Faço a simplificação final das combinações de termos:
Multiplicando por
:
Volto a escrever em termos das raízes cúbicas, lembrando
e
. Assim a forma racionalizada (sem raízes no denominador) é