Racionalize as expressões
h) \frac{8}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar a expressão
\frac{8}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Está presente a raiz cúbica de 2 e a raiz cúbica de 4.
  • Observação útil que vou usar: \sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2})^2.
    Não faço ainda nenhum cálculo; só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Para deixar a escrita mais limpa, defino a letra
a=\sqrt[3]{2}.
Então \sqrt[3]{4}=a^2 e também vale
a^3=2.
A expressão fica escrita como
\frac{8}{a+a^2}.
Agora é mais fácil manipular algebricamente.

Passo 3

Explicando a ideia para racionalizar: com raízes cúbicas não funciona a “conjugada” simples como em raízes quadradas. Em vez disso, usamos um fator que ao multiplicar o denominador transforme potências em algo que possamos simplificar usando a^3. Uma escolha clássica é multiplicar por
a^2 - a + 1,
pois produtos envolvendo a+a^2 e a^2-a+1 simplificam usando a^3. Então multiplico numerador e denominador por esse fator:
\frac{8}{a+a^2}\cdot\frac{a^2-a+1}{a^2-a+1} = \frac{8\,(a^2-a+1)}{(a+a^2)(a^2-a+1)}.

Passo 4

Calculo o produto do denominador passo a passo:
(a+a^2)(a^2-a+1) = a\cdot a^2 - a\cdot a + a\cdot 1 + a^2\cdot a^2 - a^2\cdot a + a^2\cdot 1.
Agrupando termos:
= a^3 - a^2 + a + a^4 - a^3 + a^2.
Agora simplifico termos iguais ( a^3 cancela e -a^2+a^2 cancela):
= a + a^4.
Como a^3=2, tem-se a^4=a\cdot a^3=2a. Portanto
a + a^4 = a + 2a = 3a.
Logo o denominador simplifica para 3a. Assim a expressão ficou
\frac{8\,(a^2-a+1)}{3a}.

Passo 5

Ainda temos um a no denominador. Para remover completamente raízes do denominador usamos a relação a^3=2 para escrever 1/a de forma sem divisão por raiz:
\frac{1}{a}=\frac{a^2}{a^3}=\frac{a^2}{2}.
Reescrevo a fração dividindo por a:
\frac{8\,(a^2-a+1)}{3a}=\frac{8}{3}\cdot\frac{a^2-a+1}{a} =\frac{8}{3}\bigl(a-1+\frac{1}{a}\bigr).
Agora substituo \dfrac{1}{a}=\dfrac{a^2}{2}:
\frac{8}{3}\Bigl(a-1+\frac{a^2}{2}\Bigr).

Passo 6

Faço a simplificação final das combinações de termos:
a-1+\frac{a^2}{2}=\frac{2a-2+a^2}{2}=\frac{a^2+2a-2}{2}.
Multiplicando por \dfrac{8}{3}:
\frac{8}{3}\cdot\frac{a^2+2a-2}{2}=\frac{4}{3}\bigl(a^2+2a-2\bigr).
Volto a escrever em termos das raízes cúbicas, lembrando a=\sqrt[3]{2} e a^2=\sqrt[3]{4}. Assim a forma racionalizada (sem raízes no denominador) é
\frac{4}{3}\bigl(\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}-2\bigr).

Resposta

\dfrac{4}{3}\bigl(\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}-2\bigr)