Um raio de luz entra na atmosfera de um planeta e desce verticalmente para a superfície uma distância
abaixo. O índice de refração onde a luz entra na atmosfera é 1,00, e aumenta linearmente com a distância para ter o valor
na superfície do planeta.
(a) Por qual intervalo de tempo a luz atravessa esse caminho?
(b) Por qual fração é o intervalo de tempo maior do que o requerido na ausência de uma atmosfera?
(a) Por qual intervalo de tempo a luz atravessa esse caminho?
(b) Por qual fração é o intervalo de tempo maior do que o requerido na ausência de uma atmosfera?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um raio de luz que entra na atmosfera de um planeta e desce direto na vertical até a superfície, percorrendo uma distância
. Quando a luz entra na atmosfera, o índice de refração é 1,00, mas esse índice aumenta de forma linear conforme a luz se aproxima da superfície, chegando a um valor
na superfície do planeta. A matéria que estamos lidando aqui é óptica, especificamente sobre como a luz se comporta ao passar por meios com índices de refração variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como o índice de refração influencia a velocidade da luz e como calcular o tempo que a luz leva para percorrer esse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: “Por qual intervalo de tempo a luz atravessa esse caminho?” Para encontrar o tempo que a luz leva para descer a distância
com um índice de refração que varia linearmente, precisamos considerar que a velocidade da luz muda conforme o índice de refração muda.
Passo 3
Lembra que a velocidade da luz em um meio é dada por
, onde
é a velocidade da luz no vácuo (aproximadamente
m/s) e
é o índice de refração do meio. Como o índice de refração está aumentando linearmente com a distância, podemos expressar
como uma função da distância
medida a partir da entrada na atmosfera:
Passo 4
Para encontrar o tempo total
que a luz leva para percorrer a distância
, precisamos integrar o inverso da velocidade em relação à distância:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separe os termos dentro da integral:
Calculando cada parte:
Passo 6
Agora, somando os dois resultados:
Passo 7
Simplificando a expressão final:
Resposta
O intervalo de tempo que a luz leva para atravessar o caminho é: