Um raio de luz entra na atmosfera de um planeta e desce verticalmente para a superfície uma distância h abaixo. O índice de refração onde a luz entra na atmosfera é 1,00, e aumenta linearmente com a distância para ter o valor n na superfície do planeta.
(a) Por qual intervalo de tempo a luz atravessa esse caminho?
(b) Por qual fração é o intervalo de tempo maior do que o requerido na ausência de uma atmosfera?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um raio de luz que entra na atmosfera de um planeta e desce direto na vertical até a superfície, percorrendo uma distância . Quando a luz entra na atmosfera, o índice de refração é 1,00, mas esse índice aumenta de forma linear conforme a luz se aproxima da superfície, chegando a um valor na superfície do planeta. A matéria que estamos lidando aqui é óptica, especificamente sobre como a luz se comporta ao passar por meios com índices de refração variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como o índice de refração influencia a velocidade da luz e como calcular o tempo que a luz leva para percorrer esse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: “Por qual intervalo de tempo a luz atravessa esse caminho?” Para encontrar o tempo que a luz leva para descer a distância com um índice de refração que varia linearmente, precisamos considerar que a velocidade da luz muda conforme o índice de refração muda.

Passo 3

Lembra que a velocidade da luz em um meio é dada por n(y) = 1 + ( n - 1h ) y , onde é a velocidade da luz no vácuo (aproximadamente m/s) e é o índice de refração do meio. Como o índice de refração está aumentando linearmente com a distância, podemos expressar como uma função da distância medida a partir da entrada na atmosfera:

Passo 4

Para encontrar o tempo total t = integral0^h 1v(y) , dy = integral0^h n(y)c , dy que a luz leva para percorrer a distância t = 1c integral0^h (1 + (n - 1)h y ) dy , precisamos integrar o inverso da velocidade em relação à distância:
Substituindo :

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separe os termos dentro da integral:
t = 1c [ integral0^h 1 , dy + integral0^h (n - 1)h y , dy ]
Calculando cada parte:
integral0^h 1 , dy = h
integral0^h (n - 1)h y , dy = (n - 1)h cdot h^22 = (n - 1)h2

Passo 6

Agora, somando os dois resultados:
t = 1c ( h + (n - 1)h2 ) = hc (1 + n - 12) = hc ( 2 + n - 12 ) = hc cdot n + 12

Passo 7

Simplificando a expressão final:
t = h (n + 1)2 c

Resposta

O intervalo de tempo que a luz leva para atravessar o caminho é:
t = h (n + 1)2 c

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