O raio da Terra é de 6,37 \times 10^{3} \mathrm{~km}. Determine a aceleração centrípeta de um ponto sobre o equador, devido ao movimento de rotação da Terra. \left(3,37 \times 10^{-2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá o raio da Terra e pede a aceleração centrípeta de um ponto sobre o equador devido à rotação. Dados fornecidos:
  • Raio da Terra: R = 6,37\times10^{3}\\ \mathrm{km} (pego do enunciado).
  • A Terra completa uma rotação em 24 horas (um dia), portanto o período de rotação é T = 24\\ \mathrm{h}.
    O que se pede: calcular a aceleração centrípeta a_c em unidades de \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A aceleração centrípeta de um movimento circular uniforme pode ser escrita como
a_c = \omega^{2} r,
onde \omega é a velocidade angular (em \mathrm{s^{-1}}) e r é o raio da trajetória (em metros).
  • A velocidade angular está relacionada ao período pelo
\omega = \frac{2\pi}{T},
onde T é o período (em segundos) e 2\pi representa uma volta completa em radianos.

Passo 3

Converter o raio para o SI (metros). Como 1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m}, temos
R = 6,37\times10^{3}\\ \mathrm{km} = 6,37\times10^{3}\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Converter o período T para segundos. Como 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s},
T = 24\\ \mathrm{h} = 24\times3600\\ \mathrm{s} = 86400\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a velocidade angular \omega:
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86400\\ \mathrm{s}}.
Numericamente,
\omega \approx 7,27\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.
(Explicação rápida: 2\pi\approx6,283185 e 6,283185/86400\approx7,2722\times10^{-5}, arredondado para três algarismos significativos fica 7,27\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.)

Passo 6

Calcular \omega^{2}. Elevando ao quadrado:
\omega^{2} \approx (7,27\times10^{-5})^{2} \approx 5,29\times10^{-9}\\ \mathrm{s^{-2}}.
(Regra de potência: (a\times10^{n})^{2}=a^{2}\times10^{2n}.)

Passo 7

Calcular a aceleração centrípeta usando a_c=\omega^{2}r:
a_c = \omega^{2} R \approx (5,29\times10^{-9}\\ \mathrm{s^{-2}})\times(6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m}).
Multiplicando as potências de dez e os coeficientes:
a_c \approx 5,29\times6,37\times10^{-9+6}\\ \mathrm{m/s^{2}} = (5,29\times6,37)\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calculando o produto numérico 5,29\times6,37\approx33,7, obtemos
a_c \approx 3,37\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Breve interpretação e verificação rápida (opcional, para confiança): usando v=\omega r obtém-se v\approx4,63\times10^{2}\\ \mathrm{m/s} e então a_c=v^{2}/r dá o mesmo resultado aproximadamente 3,37\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}}. A ordem de grandeza está coerente com o valor conhecido (bem menor que g\approx9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Resposta

3,37\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}}