A raiz real da equação log10(x + 1) + 1 = log10 (x2 + 35) é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A questão que temos é encontrar o valor de $ x $ que satisfaz a equação $ \log_{10}(x + 1) + 1 = \log_{10}(x^2 + 35) $. Vamos precisar usar conceitos de equações logarítmicas e propriedades dos logaritmos para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ \log_{10}(A) + 1 $ pode ser reescrito usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que adicionar 1 é o mesmo que multiplicar por 10 dentro do logaritmo. Então,
Passo 3
Agora, substituímos essa transformação na equação original:
Passo 4
Como os logaritmos de base 10 são iguais, seus argumentos também devem ser iguais (desde que ambos sejam positivos). Portanto, podemos igualar os argumentos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação e trazê-la para a forma padrão de uma equação quadrática:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática $ x^2 - 10x + 25 = 0 $. Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -10 $ e $ c = 25 $.
Passo 7
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 8
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 9
Por fim, precisamos verificar se $ x = 5 $ satisfaz as condições iniciais dos logaritmos (os argumentos devem ser positivos):
Tudo está certo!
Resposta
A raiz real da equação é $ x = 5 $.