A raiz real da equação log10(x + 1) + 1 = log10 (x2 + 35) é

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A questão que temos é encontrar o valor de $ x $ que satisfaz a equação $ \log_{10}(x + 1) + 1 = \log_{10}(x^2 + 35) $. Vamos precisar usar conceitos de equações logarítmicas e propriedades dos logaritmos para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ \log_{10}(A) + 1 $ pode ser reescrito usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que adicionar 1 é o mesmo que multiplicar por 10 dentro do logaritmo. Então,
log10(A) + 1

Passo 3

Agora, substituímos essa transformação na equação original:
log10(10(x + 1)) = log10(x^2 + 35)

Passo 4

Como os logaritmos de base 10 são iguais, seus argumentos também devem ser iguais (desde que ambos sejam positivos). Portanto, podemos igualar os argumentos:
10(x + 1) = x^2 + 35

Passo 5

Vamos simplificar essa equação e trazê-la para a forma padrão de uma equação quadrática:
10x + 10 = x^2 + 35
x^2 + 35 - 10x - 10 = 0
x^2 - 10x + 25 = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática $ x^2 - 10x + 25 = 0 $. Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 10x + 25 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = -10 $ e $ c = 25 $.

Passo 7

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De

Passo 8

Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
x = -(-10)2(1) = 102 = 5

Passo 9

Por fim, precisamos verificar se $ x = 5 $ satisfaz as condições iniciais dos logaritmos (os argumentos devem ser positivos):
x = 5
Tudo está certo!

Resposta

A raiz real da equação é $ x = 5 $.

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