Se raiz5-2 x^2 <= f(x) <= raiz5+2 x^2, para -1 <= x <= 1, determine lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que está entre duas outras funções: e , para valores de entre -1 e 1. A gente precisa descobrir qual é o limite de quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar um conceito chamado Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Contração), que ajuda a encontrar limites quando a função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite das duas funções que estão “fazendo o sanduíche” para limx to 0 raiz5 - 2x^2 = raiz5 - 2(0)^2 = raiz5 se aproximar de 0.
Para a função de baixo:
limx to 0 raiz5 + 2x^2 = raiz5 + 2(0)^2 = raiz5
Para a função de cima:
Percebeu? As duas funções têm o mesmo limite quando se aproxima de 0, que é .

Passo 3

Agora, como está sempre entre essas duas funções e ambas se aproximam de quando vai para 0, o Teorema do Sanduíche nos garante que o limite de também será .

Resposta

limx to 0 f(x) = raiz5

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