1. Raizes complexas de polinômios com coeficientes reais aparecem em pares de complexos conjugados
    a. Estenda os resultados do Exercício 26 para mostrar que f(\bar{z})=f(z) se
f(z)=a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1} z+a_{0}
é um polinômio com coeficientes reais a_{0}, \ldots, a_{n}
b. Se z é uma raiz da equação f(z)=0, onde f(z) é um polinômio com coeficientes reais como no item (a), mostre que o conjugado żé também uma raiz da equação. (Sugestão: Seja f(z)=u+i v=0; então, tanto u quanto v são zero. Utilize o fato de que f(\bar{z})=\overline{f(z)}=u-i v.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre um polinômio
f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0}
cujo todos os coeficientes a_{k} são reais. Primeiro (item a) temos de mostrar que
f(\bar z)=\overline{f(z)}
e depois (item b) usar esse fato para provar que, se f(z)=0, então também f(\bar z)=0, ou seja, raízes complexas aparecem em pares conjugados.

Passo 2

Lembramos propriedades básicas do conjugado de números complexos: para quaisquer w_1,w_2\in\mathbb{C},
\overline{w_1+w_2}=\overline{w_1}+\overline{w_2}, \qquad \overline{w_1w_2}=\overline{w_1}\,\overline{w_2}.
Dessa forma, por indução, para todo inteiro não negativo k vale
\overline{z^k}=(\overline{z})^k.

Passo 3

Usando as propriedades do passo anterior e o fato de todos os a_k serem reais (logo \overline{a_k}=a_k), temos
f(\bar z) =\;a_{n}(\bar z)^{n}+a_{n-1}(\bar z)^{n-1}+\cdots+a_{1}(\bar z)+a_{0} =\;\overline{a_{n}z^{n}}+\overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\cdots+\overline{a_{1}z}+\overline{a_{0}} =\;\overline{f(z)}.
Isso encerra a prova do item (a).

Passo 4

Para o item (b), suponha que z seja raiz, ou seja f(z)=0. Então
\overline{f(z)}= \overline{0}=0.
Pelo resultado do item (a) temos \overline{f(z)}=f(\bar z). Concluímos que
f(\bar z)=0,
ou seja, \bar z também é raiz de f.

Resposta

(a) Mostrou-se que f(\bar z)=\overline{f(z)}.
(b) Seguindo disso, se f(z)=0 então f(\bar z)=0, logo raízes vêm em pares conjugados.

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