1. A reação \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} ( 2^{\mathrm{a}} ordem) é conduzida em um reator tubular ideal com a vazão volumétrica constante igual a 10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{min}. Se a concentração de entrada é 1 \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3} e a velocidade específica é 0,5 \mathrm{dm}^{3} \mathrm{~min}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}, o volume do reator necessário para que a concentração de saída seja igual a 20 \% da concentração de entrada é:
    (A) 25 \mathrm{dm}^{3}
    (B) 50 \mathrm{dm}^{3}
    (C) 80 \mathrm{dm}^{3}
    (D) 100 \mathrm{dm}^{3}

Passo 1

O enunciado pede o volume de um reator tubular ideal (reator pistonado / PFR) necessário para que, sob as condições dadas, a concentração de saída seja igual a 20\% da concentração de entrada. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Tipo de reação: \mathrm{A}\rightarrow \mathrm{B} de segunda ordem (logo a velocidade é proporcional a C_A^2).
  • Vazão volumétrica constante: Q = 10\\ \mathrm{dm}^3\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • Concentração de entrada: C_{A0} = 1\\ \mathrm{mol}\\ \mathrm{dm}^{-3}.
  • Velocidade específica (constante de rapidez): k = 0,5\\ \mathrm{dm}^3\\ \mathrm{min}^{-1}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
  • Concentração de saída desejada: C_{A,\text{out}} = 20\% de C_{A0}, isto é C_{A,\text{out}} = 0,2\cdot C_{A0}.
O que se pede: calcular o volume V do reator tubular (PFR) que garante essa redução de concentração.

Passo 2

Modelo e equação de projeto para reator tubular ideal (PFR).
Explicando o raciocínio físico-matemático: num reator tubular ideal com vazão constante, fazemos o balanço de matéria para o componente A em estado estacionário. A definição do fluxo molar de A é
F_A = Q\,C_A,
onde
  • F_A é o fluxo molar de A (mol min ^{-1}),
  • Q é a vazão volumétrica (dm ^3 min ^{-1}),
  • C_A é a concentração de A (mol dm ^{-3}).
A equação de balanço diferencial para um PFR em regime estacionário é
\frac{dF_A}{dV} = -r_A,
onde r_A é a velocidade de reação (mol dm ^{-3} min ^{-1}) e V é o volume do reator (dm ^3). Essa equação diz que a variação do fluxo molar de A com o volume é igual à perda de A pela reação.

Passo 3

Expressar a velocidade para reação de segunda ordem e substituir na equação de balanço.
Para uma reação de segunda ordem homogênea do tipo \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B} (ordem 2 em A), a expressão da velocidade é
r_A = k\,C_A^2,
onde k é a constante de velocidade com unidades compatíveis (aqui k = 0,5\\ \mathrm{dm}^3\\ \mathrm{min}^{-1}\\ \mathrm{mol}^{-1}).
Substituindo F_A = Q C_A em \dfrac{dF_A}{dV} = -r_A obtemos
Q\frac{dC_A}{dV} = -k\,C_A^2.

Passo 4

Separação de variáveis e explicação do passo.
Queremos isolar dV de um lado e termos apenas C_A do outro para poder integrar. Dividindo ambos os lados por Q e por C_A^2 obtemos
\frac{dC_A}{C_A^2} = -\frac{k}{Q}\,dV.
Isto é uma equação diferencial de variáveis separáveis: a integral do lado esquerdo depende só de C_A e a do direito só de V.

Passo 5

Integração com os limites físicos do problema.
Integramos ambos os lados: do volume V=0 até V=V e da concentração C_A=C_{A0} até C_A=C_{A,\text{out}}:
\int_{C_{A0}}^{C_{A,\text{out}}} \frac{dC_A}{C_A^2} \;=\; -\frac{k}{Q}\int_{0}^{V} dV.
Calcule a integral à esquerda. A primitiva de C_A^{-2} é -C_A^{-1}. Portanto
\left[-\frac{1}{C_A}\right]_{C_{A0}}^{C_{A,\text{out}}} \;=\; -\frac{k}{Q}\,V.
Avaliado isso fica
-\frac{1}{C_{A,\text{out}}} + \frac{1}{C_{A0}} \;=\; -\frac{k}{Q}\,V.
Multiplicando por -1,
\frac{1}{C_{A,\text{out}}} - \frac{1}{C_{A0}} \;=\; \frac{k}{Q}\,V.

Passo 6

Isolar V na expressão e interpretar unidades.
Da relação anterior isolamos V:
V \;=\; \frac{Q}{k}\left(\frac{1}{C_{A,\text{out}}} - \frac{1}{C_{A0}}\right).
Comentário sobre unidades para checar consistência: \dfrac{Q}{k} tem unidades
\frac{\mathrm{dm}^3\\ \mathrm{min}^{-1}}{\mathrm{dm}^3\\ \mathrm{min}^{-1}\\ \mathrm{mol}^{-1}} = \mathrm{mol},
e a diferença dentro do parêntese tem unidades de \mathrm{mol}^{-1}\\ \mathrm{dm}^3, resultando em V com unidade \mathrm{dm}^3, como esperado. (Aqui cuidei para combinar as unidades corretamente; em muitos textos a unidade de k é escrita tal que \dfrac{Q}{k} resulte diretamente em volume.)

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Dados: Q = 10\\ \mathrm{dm}^3\\ \mathrm{min}^{-1}, k = 0,5\\ \mathrm{dm}^3\\ \mathrm{min}^{-1}\\ \mathrm{mol}^{-1}, C_{A0} = 1\\ \mathrm{mol}\\ \mathrm{dm}^{-3}, C_{A,\text{out}} = 0,2\\ \mathrm{mol}\\ \mathrm{dm}^{-3}.
Calcule primeiro a diferença das inversas:
\frac{1}{C_{A,\text{out}}} - \frac{1}{C_{A0}} \;=\; \frac{1}{0,2} - \frac{1}{1} \;=\; 5 - 1 \;=\; 4\\ \mathrm{dm}^3\\ \mathrm{mol}^{-1}.
Agora calcule V:
V \;=\; \frac{Q}{k}\cdot 4 \;=\; \frac{10}{0,5}\cdot 4.
Calcule \dfrac{10}{0,5} = 20. Assim
V = 20\cdot 4 = 80\\ \mathrm{dm}^3.

Passo 8

Interpretação final e checagem.
O volume calculado é V = 80\\ \mathrm{dm}^3. Faz sentido fisicamente: para uma reação de segunda ordem, reduzir bastante a concentração (para 20\%) requer um volume relativamente maior do que para reações de ordem menor, e os números dados (vazão alta Q e k moderado) conduzem a este valor. Conferimos unidades e a conta aritmética: tudo consistente.

Resposta

(C) 80\\ \mathrm{dm}^3

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