1. Se uma reação química ocorre a um volume constante a entalpia é dada por \Delta H=\int C_{v} d t, na qual C_{v} é definida como capacidade térmica a volume constante. Se C_{v}=2 t^{2}+3 t+7 encontre \Delta H.
    \Delta H=\int C_{v} d t
    \Delta H=\int\left(2 t^{2}+3 t+7\right) d t
    \Delta H=2 \frac{t^{3}}{3}+3 \frac{t^{2}}{2}+7 t+k

Passo 1

O enunciado nos dá a entalpia a volume constante
\Delta H = \int C_{v}\,dt
e informa que
C_{v}(t) = 2t^{2} + 3t + 7.
O conteúdo é integração de um polinômio, e vamos usar a regra de potências
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Integramos termo a termo:
\int 2t^{2}\,dt = 2 \cdot \frac{t^{3}}{3} = \frac{2}{3}t^{3},
\int 3t\,dt = 3 \cdot \frac{t^{2}}{2} = \frac{3}{2}t^{2},
\int 7\,dt = 7t.

Passo 3

Somando os resultados e incluindo a constante de integração k, obtemos
\Delta H = \frac{2}{3}t^{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 7t + k.

Resposta

\Delta H = \frac{2}{3}t^{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 7t + k.

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