Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar semanticamente a sentença proposicional e classificá‑la como Tautologia, Contradição ou Satisfatível. A fórmula dada é
Objetivo: decidir em qual das três categorias a fórmula se encaixa e justificar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que cada categoria significa (explicação bem direta para usar na prova):
- Tautologia: uma fórmula que é verdadeira em todas as valorações (ou seja, para todo
a fórmula vale verdadeiro). - Contradição: uma fórmula que é falsa em todas as valorações (ou seja, nunca é verdadeira).
- Satisfatível: uma fórmula que é verdadeira em pelo menos uma valoração (pode ser às vezes verdadeira, às vezes falsa).
Vou usar essas definições para checar a fórmula.
Passo 3
Aplicar transformação lógica usando Leis de De Morgan para simplificar o trecho
. Pela lei de De Morgan vale
Substituindo na fórmula obtemos
Para clareza, escrevendo a parte do disjuntor entre parênteses:
Passo 4
Simplificar a subfórmula
. Aqui vale a lei de absorção (ou raciocínio caso a caso):
- A lei de absorção diz
.
Tomandoe , obtemos
Justificativa intuitiva rápida: se
for verdadeira então a disjunção é verdadeira; se
for falsa então
também é falsa, então a disjunção acompanha o valor de
. Portanto é equivalente a
.
Passo 5
Substituindo essa simplificação na fórmula original, ficamos com
Esta é uma conjunção de uma fórmula com sua negação, ou seja
.
Passo 6
Analisar
. Para qualquer valor de
temos:
- se
é verdadeiro então é falso, logo é falso; - se
é falso então é verdadeiro, mas é falso, logo é falso.
Portantoé sempre falso, independentemente de .
Passo 7
Como a fórmula reduz exatamente a
, que é falsa em todas as valorações, concluímos que a fórmula original é falsa em todas as valorações. Em termos das categorias definidas no Passo 2, isso significa que a fórmula é uma Contradição.
Resposta
Contradição