Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
(\neg(P \vee Q) \vee \neg P) \wedge P.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar semanticamente a sentença proposicional e classificá‑la como Tautologia, Contradição ou Satisfatível. A fórmula dada é
(\neg(P \vee Q) \vee \neg P) \wedge P.
Objetivo: decidir em qual das três categorias a fórmula se encaixa e justificar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que cada categoria significa (explicação bem direta para usar na prova):
  • Tautologia: uma fórmula que é verdadeira em todas as valorações (ou seja, para todo P,Q,\dots a fórmula vale verdadeiro).
  • Contradição: uma fórmula que é falsa em todas as valorações (ou seja, nunca é verdadeira).
  • Satisfatível: uma fórmula que é verdadeira em pelo menos uma valoração (pode ser às vezes verdadeira, às vezes falsa).
    Vou usar essas definições para checar a fórmula.

Passo 3

Aplicar transformação lógica usando Leis de De Morgan para simplificar o trecho \neg(P\vee Q). Pela lei de De Morgan vale
\neg(P \vee Q) \equiv \neg P \wedge \neg Q.
Substituindo na fórmula obtemos
(\neg P \wedge \neg Q \vee \neg P) \wedge P.
Para clareza, escrevendo a parte do disjuntor entre parênteses:
\big((\neg P \wedge \neg Q) \vee \neg P\big) \wedge P.

Passo 4

Simplificar a subfórmula (\neg P \wedge \neg Q) \vee \neg P. Aqui vale a lei de absorção (ou raciocínio caso a caso):
  • A lei de absorção diz A \vee (A \wedge B) \equiv A.
    Tomando A=\neg P e B=\neg Q, obtemos
(\neg P \wedge \neg Q) \vee \neg P \equiv \neg P.
Justificativa intuitiva rápida: se \neg P for verdadeira então a disjunção é verdadeira; se \neg P for falsa então \neg P \wedge \neg Q também é falsa, então a disjunção acompanha o valor de \neg P. Portanto é equivalente a \neg P.

Passo 5

Substituindo essa simplificação na fórmula original, ficamos com
(\neg P) \wedge P.
Esta é uma conjunção de uma fórmula com sua negação, ou seja \neg P \wedge P.

Passo 6

Analisar \neg P \wedge P. Para qualquer valor de P temos:
  • se P é verdadeiro então \neg P é falso, logo \neg P \wedge P é falso;
  • se P é falso então \neg P é verdadeiro, mas P é falso, logo \neg P \wedge P é falso.
    Portanto \neg P \wedge P é sempre falso, independentemente de Q.

Passo 7

Como a fórmula reduz exatamente a \neg P \wedge P, que é falsa em todas as valorações, concluímos que a fórmula original é falsa em todas as valorações. Em termos das categorias definidas no Passo 2, isso significa que a fórmula é uma Contradição.

Resposta

Contradição