Um recipiente rígido contém 0,014 \mathrm{~m}^{3} de vapor d’água saturado em equilíbrio com 0,021 \mathrm{~m}^{3} de água líquida saturada a 100^{\circ} \mathrm{C}. Calor é transferido para o recipiente até o momento em que uma fase desaparece, restando uma única fase. Qual a fase (líquido ou vapor) que permanece e quais são as suas temperatura e pressão? Que quantidade de calor é transferida no processo?

Passo 1

O enunciado dá um recipiente rígido (volume total constante) contendo vapor e líquido saturados de água a 100^\circ\mathrm{C}. Os volumes ocupados pelas fases são:
  • volume de vapor: V_v=0,014\\ \mathrm{m}^3,
  • volume de líquido: V_\ell=0,021\\ \mathrm{m}^3.
O enunciado pede:
  1. Determinar qual fase permanece quando o aquecimento prossegue até restar uma única fase;
  2. Determinar a temperatura e a pressão dessa fase única;
  3. Calcular a quantidade de calor transferida no processo.
Informações relevantes que já temos (retiradas do enunciado):
  • Processo a volume constante: V_{\text{tot}}=V_v+V_\ell=0,035\\ \mathrm{m}^3 (é constante durante o aquecimento).
  • Estado inicial: mistura saturada a 100^\circ\mathrm{C} (logo a pressão inicial é a pressão de saturação a 100^\circ\mathrm{C}, isto é, p_{\text{sat}}(100^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}101325\\ \mathrm{MPa}).
  • Dados de propriedades de saturado em 100^\circ\mathrm{C} que serão usados: volume específico do líquido saturado \,v_f(100^\circ\mathrm{C}) e do vapor saturado \,v_g(100^\circ\mathrm{C}). Vou usar os valores padrão de tabela:
    • \,v_f(100^\circ\mathrm{C})=0{,}001043\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},
    • \,v_g(100^\circ\mathrm{C})\approx 1{,}694\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
A partir daqui começa a resolução prática (cálculos de massas, volume específico total, e raciocínio sobre qual curva de saturado será atingida primeiro). Não se preocupe: vou explicar tudo passo a passo e dizer quando usei valores de tabela.

Passo 2

Calcular as massas iniciais de líquido e vapor (usando os volumes e os volumes específicos de saturado a 100^\circ\mathrm{C}).
Explicando a fórmula: para uma porção de fase homogênea, a massa é m=\dfrac{V}{v}, onde V é o volume ocupado e v é o volume específico ( \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}). Isso é direto: se cada kg ocupa v metros cúbicos, o número de kg é volume dividido por v.
Aplicando:
m_\ell=\frac{V_\ell}{v_f(100^\circ\mathrm{C})} =\frac{0{,}021}{0{,}001043}
m_v=\frac{V_v}{v_g(100^\circ\mathrm{C})} =\frac{0{,}014}{1{,}694}
Agora calculando (faça como na prova: divida cuidadosamente):
m_\ell \approx \frac{0{,}021}{0{,}001043}\approx 20{,}14\\ \mathrm{kg}.
m_v \approx \frac{0{,}014}{1{,}694}\approx 0{,}00826\\ \mathrm{kg}.
Portanto a massa total é
m_{\text{tot}}=m_\ell+m_v\approx 20{,}14+0{,}00826\approx 20{,}148\\ \mathrm{kg}.
Observação didática: repare que a massa de líquido domina — há cerca de 20 kg de líquido e só cerca de 8 g de vapor. Isso dá uma pista sobre o que vai acontecer ao aquecer.

Passo 3

Calcular o volume específico total fixo do sistema (já que o recipiente é rígido).
Definição: o volume específico médio do sistema é
v_{\text{tot}}=\frac{V_{\text{tot}}}{m_{\text{tot}}}.
Substituindo:
v_{\text{tot}}=\frac{0{,}035}{20{,}148}\approx 0{,}001737\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Interpretação didática importante: em qualquer condição subsequente (enquanto houver duas fases saturadas coexistindo), a qualidade x (fração mássica de vapor) satisfaz
v_{\text{tot}}=(1-x)\,v_f(T)+x\,v_g(T),
onde v_f(T) e v_g(T) são os volumes específicos do líquido e do vapor saturados à temperatura T (ou pressão de saturação correspondente). Como o aquecimento é feito à volume constante, v_{\text{tot}} permanece esse número fixo.
Ao aquecer, a temperatura de saturação sobe (a pressão de saturação sobe). As duas curvas de saturado variam com T: v_f(T) aumenta com T (o líquido fica um pouco menos denso) e v_g(T) diminui com T (o vapor saturado fica mais denso) até o ponto crítico, onde as duas se encontram. O sistema permanecerá em duas fases enquanto v_f(T)\le v_{\text{tot}}\le v_g(T). Quando, ao aumentar T, um desses limites for atingido, uma fase desaparece:
  • se v_{\text{tot}}=v_g(T) acontece, a fase líquida desaparece (fica só vapor saturado);
  • se v_{\text{tot}}=v_f(T) acontece, a fase vapor desaparece (fica só líquido saturado).

Passo 4

Determinar qual dos dois limites será alcançado primeiro (ou seja, qual fase some).
Raciocínio: procure comparações numéricas entre v_{\text{tot}} e os valores típicos de v_f(T) e v_g(T) ao longo da curva de saturação.
  • No estado inicial 100^\circ\mathrm{C} temos v_f(100^\circ\mathrm{C})=0{,}001043 e v_g(100^\circ\mathrm{C})\approx 1{,}694. Então
v_f(100^\circ\mathrm{C}) < v_{\text{tot}} \ll v_g(100^\circ\mathrm{C}),
por isso existe uma mistura (qualidade pequena).
  • À medida que a temperatura aumenta, v_f(T) aumenta gradualmente desde 0{,}001043 até o valor crítico v_c\approx 0{,}003106\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} em T_c\approx 374{,}14^\circ\mathrm{C}; já v_g(T) diminui de \sim 1{,}7 para o mesmo v_c.
  • O valor fixo v_{\text{tot}}=0{,}001737 é maior que v_f(100^\circ\mathrm{C}) mas é menor que o valor crítico v_c. Logo, quando v_f(T) crescer (com o aumento de T) ele chegará ao valor v_{\text{tot}} antes de v_g(T) descer até v_{\text{tot}}. Em palavras: o limite que será atingido é v_{\text{tot}}=v_f(T).
Conclusão física clara: ao aquecer, a mistura vai perder gradualmente vapor (a qualidade diminui) até que, numa certa temperatura de saturação T_s, todo o vapor tenha condensado e resten somente líquido saturado preenchendo o volume total. Ou seja, a fase que permanece é o líquido saturado.
(Comentário amistoso: é normal ficar meio contra-intuitivo — aquecer e acabar com vapor — mas em recipiente rígido com muito líquido e volume específico pequeno, o aquecimento aumenta muito a pressão e empurra o equilíbrio para o lado líquido. Aqui havia só uns gramas de vapor; o aquecimento comprime a fase vapor saturada e, no processo de elevação de temperatura de saturação, o vapor some.)

Passo 5

Determinar a temperatura T_s e a pressão p_s da fase única (líquido saturado) usando a condição
v_f(T_s)=v_{\text{tot}}.
Explicação: quando chegar ao ponto em que não há mais vapor, o volume específico do sistema será exatamente o volume específico do líquido saturado à temperatura de saturação correspondente. Logo basta procurar na tabela de água saturada a temperatura cuja v_f seja 0{,}001737\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Usando tabelas de propriedades de água saturada (procure na tabela de v_f em função de T), encontra-se o valor aproximado
T_s\approx 325^\circ\mathrm{C}.
A pressão de saturação correspondente a essa temperatura (tabela de pressão de saturação) é aproximadamente
p_s\approx 15{,}3\\ \mathrm{MPa}.
Obs.: esses números foram obtidos ao comparar v_{\text{tot}}=0{,}001737\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} com os valores de v_f(T) nas tabelas. Em uma prova é esperado usar a tabela de propriedades e ler o T que dá v_f igual ao v_{\text{tot}}. Se na tabela o valor exato não aparecer, faz-se interpolação linear entre as linhas vizinhas.

Passo 6

Calcular a quantidade de calor total Q transferida no processo.
Estratégia (fórmula e explicação física): o calor adicionado altera a energia interna do sistema (recipiente rígido, sem trabalho de deslocamento do entorno). Assim, usando a primeira lei para sistema fechado sem trabalho de deslocamento (o trabalho do sistema é zero porque o volume é fixo), temos
Q=\Delta U=U_f-U_i,
onde U_i é a energia interna total inicial e U_f é a energia interna total final.
Como temos duas fases inicialmente e uma fase final (líquido saturado à T_s), expressamos:
U_i=m_\ell\,u_f(100^\circ\mathrm{C})+m_v\,u_g(100^\circ\mathrm{C}),
U_f=m_{\text{tot}}\,u_f(T_s).
Então
Q=m_{\text{tot}}\,u_f(T_s)-\bigl(m_\ell\,u_f(100^\circ\mathrm{C})+m_v\,u_g(100^\circ\mathrm{C})\bigr).
Didática sobre as propriedades envolvidas: u_f e u_g são as energias internas específicas do líquido e do vapor saturados, que são tabeladas em funções de T (ou p). Em prova, use a tabela para obter u_f(100^\circ\mathrm{C}), u_g(100^\circ\mathrm{C}) e u_f(T_s). Se a tabela fornecer entalpias h, lembre que u=h-pv (atenção às unidades: p em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} tornam pv em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}).
Cálculo numérico aproximado (para ter uma ordem de grandeza — aqui uso valores tabelados típicos para ilustração):
  • a partir de tabelas:
    • u_f(100^\circ\mathrm{C})\approx 418{,}9\\ \mathrm{kJ/kg} (pouco menor que h_f por causa do termo pv),
    • u_g(100^\circ\mathrm{C})\approx 2506\\ \mathrm{kJ/kg},
    • u_f(325^\circ\mathrm{C}) (valor tabelado para o líquido saturado a 325^\circ\mathrm{C}) vale aproximadamente u_f(325^\circ\mathrm{C})\approx 1280\\ \mathrm{kJ/kg} (este é um valor de referência aproximado — na prova leia a tabela e use o valor exato ou faça interpolação).
Usando os m calculados no Passo 2:
U_i\approx 20{,}14\cdot 418{,}9 + 0{,}00826\cdot 2506 \approx 8439{,}5 + 20{,}7 \approx 8459{,}2\\ \mathrm{kJ}.
U_f\approx 20{,}148\cdot 1280 \approx 25\,781\\ \mathrm{kJ}.
Portanto
Q=U_f-U_i\approx 25\,781-8\,459\approx 17\,322\\ \mathrm{kJ}\approx 17{,}3\\ \mathrm{MJ}.
Comentário sobre precisão: este valor de Q depende diretamente do valor exato de u_f(T_s) obtido na tabela. A estimativa acima usa um u_f(325^\circ\mathrm{C}) aproximado; se na tabela o u_f for ligeiramente diferente, Q muda sensivelmente (principalmente porque a maior parte da massa está no líquido). Uma aproximação mais simples e intuitiva (aceitável em prova se tabelas de u não estiverem disponíveis) é usar c_p do líquido para estimar a variação sensível:
Q\approx m_{\text{tot}} c_p (T_s-100^\circ\mathrm{C}),
com c_p líquido próximo de 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}. Isso dá
Q\approx 20{,}148\cdot 4{,}18\cdot(325-100)\approx 20{,}148\cdot 4{,}18\cdot 225\approx 18{,}9\\ \mathrm{MJ},
valor da mesma ordem de grandeza que o cálculo com u acima (diferenças vêm do comportamento de líquido comprimido e do uso aproximado de u_f). Em prova use as tabelas para precisão.

Passo 7

Resumo final e incentivo: concluímos que a fase que permanece é o líquido saturado; sua temperatura e pressão são as de saturação tal que v_f(T_s)=v_{\text{tot}}=0{,}001737\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}, que corresponde a aproximadamente T_s\approx 325^\circ\mathrm{C} e p_s\approx 15{,}3\\ \mathrm{MPa}. A quantidade de calor pode ser calculada por Q=m_{\text{tot}}u_f(T_s)-[m_\ell u_f(100^\circ\mathrm{C})+m_v u_g(100^\circ\mathrm{C})]; usando valores tabelados aproximados chega-se a cerca de 1{,}7\!-\!1{,}9\times10^{4}\\ \mathrm{kJ} (ou seja, 17\!-\!19\\ \mathrm{MJ}). Se quiser precisão miligramétrica, na prova pegue os valores de u_f(T) nas tabelas e faça a conta direta.

Resposta

A fase que permanece é o líquido saturado.
T\approx 325^\circ\mathrm{C} e p\approx 15{,}3\\ \mathrm{MPa}.
Q\approx 1{,}7\times10^{4}\\ \text{a}\\\ 1{,}9\times10^{4}\\ \mathrm{kJ} (aprox.; usar u tabelado para valor preciso).

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