Um vaso, com capacidade de 0,25 \mathrm{~m}^{3}, contém vapor d’água saturado a 1500 kPa . Se o vaso for resfriado até que haja a condensação de 25 \% do vapor, determine a quantidade de calor transferida e qual é a sua pressão final.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Capacidade do vaso (volume fixo): \,V=0,25\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Estado inicial: vapor d’água saturado à pressão \,P_{1}=1500\\ \mathrm{kPa} (ou 1{,}5\\ \mathrm{MPa}), e toda a massa está na fase de vapor (qualidade inicial x_{1}=1).
  • O vaso é resfriado até que haja condensação de 25\% da massa de vapor. Ou seja, a fração de massa que permanece em vapor no estado final é x_{2}=0,75.
    O que o problema pede:
  1. Determinar a quantidade de calor transferida ( Q) durante o resfriamento (sinal e valor).
  2. Determinar a pressão final do sistema ( P_{2}) após o resfriamento e equilíbrio (pressão de saturação correspondente).
    Observações importantes que serão usadas depois:
  • O vaso é rígido (volume constante).
  • É um sistema fechado (massa total constante).
  • Durante o processo podem existir duas fases em equilíbrio (líquido + vapor), então a pressão final será a pressão de saturação na temperatura final.

Passo 2

Plano de solução (resumido e sem cálculos ainda, só para sabermos o caminho):
  1. Como o volume do vaso é fixo e a massa total não muda, a quantidade V/m (volume específico médio do sistema) permanece constante. No estado inicial, esse volume específico é igual ao volume específico do vapor saturado em P_{1}, isto é \,v=v_{g1}.
  2. Calcular a massa total inicial m usando \,m=V/v_{g1} (pegando v_{g1} nas tabelas de vapor saturado).
  3. No estado final temos mistura com qualidade x_{2}=0,75. O volume específico médio do sistema também vale
v = x_{2}\,v_{g2} + (1-x_{2})\,v_{f2},
onde v_{g2} e v_{f2} são os volumes específicos do vapor saturado e do líquido saturado à pressão desconhecida P_{2}. Como v e x_{2} são conhecidos, essa equação serve para determinar v_{g2} (e, por consulta às tabelas, a pressão P_{2} correspondente).
4. Achada P_{2}, calculam-se as energias internas específicas (usando valores das tabelas de saturação, ou usando u=h-pv quando necessário) para obter u_{1} (estado inicial) e u_{2} (estado final). Como o recipiente é rígido, não há trabalho de fronteira, logo a primeira lei para o sistema fechado dá
Q = \Delta U = m\,(u_{2}-u_{1}).
  1. Fazer as contas numéricas com valores extraídos da tabela de vapor saturado (vou indicar explicitamente quais números peguei da tabela).

Passo 3

Vou pegar os valores necessários nas tabelas de vapor saturado (valores de referência). A indicação “peguei estes números da tabela” significa que estes dados são propriedades termodinâmicas do vapor saturado para as pressões indicadas:
Para \,P_{1}=1500\\ \mathrm{kPa} (peguei na tabela de vapor saturado):
  • \,v_{g1}=0,12736\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg}.
  • \,v_{f1}=0,001090\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg} (valor do líquido saturado a 1{,}5 MPa).
  • \,h_{g1}=2792{,}6\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg} (entalpia do vapor saturado a 1{,}5 MPa).
  • \,h_{f1}=859{,}6\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg} (entalpia do líquido saturado a 1{,}5 MPa).
Observação pedagógica rápida sobre as tabelas: nas tabelas de vapor saturado aparecem para cada pressão (ou temperatura) os valores de v_{f}, v_{g}, h_{f}, h_{g}, u_{f}, u_{g} etc. Se algum valor não estiver diretamente listado, pode-se usar u=h-pv (com p em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}, então p\,v fica em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}) para obter a energia interna.

Passo 4

Calcular a massa total do vapor inicialmente:
m=\frac{V}{v_{g1}}=\frac{0,25}{0,12736}.
Fazendo a conta:
m \approx 1,962\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

O volume específico médio do sistema (constante durante o processo) é
v=\frac{V}{m}=\;v_{g1}=0,12736\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg}.
No estado final temos x_{2}=0,75. A equação do volume específico da mistura é
v = x_{2}\,v_{g2} + (1-x_{2})\,v_{f2}.
Isolando v_{g2}:
v_{g2}=\frac{v-(1-x_{2})\,v_{f2}}{x_{2}}.
Agora substituo os números conhecidos. Para v_{f2} (volume específico do líquido saturado na pressão final) o valor varia pouco com pressão nessa faixa; vou usar como aproximação o valor de v_{f} nas tabelas perto de 1{,}0–1{,}5 MPa. Usarei \,v_{f2}\approx 0,00109\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg} (valor muito próximo do que se tem para 1{,}5 MPa e que varia pouco com a pressão nesse intervalo). Assim:
v_{g2}=\frac{0,12736 - 0,25\cdot 0,00109}{0,75} = \frac{0,12736 - 0,0002725}{0,75} = \frac{0,1270875}{0,75} \approx 0,16945\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg}.

Passo 6

Determinar a pressão de saturação \,P_{2} tal que o volume específico do vapor saturado seja v_{g2}\approx 0,16945\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg}.
  • Das tabelas: \,v_{g} diminui quando a pressão aumenta. Sabemos alguns pontos de referência nas tabelas:
    • para 1{,}0\\ \mathrm{MPa} tem-se \,v_{g}\approx 0,19440\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg},
    • para 1{,}5\\ \mathrm{MPa} tem-se \,v_{g}=0,12736\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg} (valor já citado).
      Fazendo uma interpolação linear aproximada entre 1{,}0\\ \mathrm{MPa} e 1{,}5\\ \mathrm{MPa} para achar a pressão correspondente a v_{g2}=0,16945\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg}, obtemos (interpolando v_{g} em função de P):
P_{2}\approx 1{,}187\\ \mathrm{MPa} = 1187\\ \mathrm{kPa}.
Essa é uma interpolação aproximada mas adequada para a resolução de prova; se o exame pede maior precisão, usa-se a tabela de vapor saturado completa e faz-se interpolação mais refinada.

Passo 7

Agora precisamos das energias internas específicas para calcular Q=m(u_{2}-u_{1}). Vou obter u a partir de u=h-pv (com p em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg}, então p v em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}).
Valores que peguei/interpolei das tabelas para P_{2}\approx 1187\\ \mathrm{kPa}:
  • Pela interpolação entre os valores em 1{,}0 MPa e 1{,}5 MPa achei aproximadamente:
    • \,h_{g2}\approx 2783{,}5\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg}.
    • \,h_{f2}\approx 799{,}0\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg}.
    • \,v_{g2} já calculado e usado: v_{g2}\approx 0,16945\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg}.
    • \,v_{f2}\approx 0,001113\\ \mathrm{m}^{3}\!/\mathrm{kg} (valor interpolado, bem pequeno).
      Cálculo das energias internas:
  • Estado inicial (todo vapor saturado a 1{,}5\\ \mathrm{MPa}): u_{1}=h_{g1}-P_{1}\,v_{g1}.Substituindo h_{g1}=2792{,}6\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}, P_{1}=1500\\ \mathrm{kPa}, v_{g1}=0,12736\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}: u_{1}=2792{,}6 - 1500\cdot 0,12736 =2792{,}6 - 191{,}04 \approx 2601{,}56\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg}.
  • Estado final (mistura com x_{2}=0,75):
    Primeiro obtenho u_{g2} e u_{f2} via u=h-pv com P_{2}=1187\\ \mathrm{kPa}: u_{g2}=h_{g2}-P_{2}\,v_{g2} =2783{,}5 - 1187\cdot 0,16945 =2783{,}5 - 201{,}12 \approx 2582{,}38\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg}.
u_{f2}=h_{f2}-P_{2}\,v_{f2} =799{,}0 - 1187\cdot 0,001113 =799{,}0 - 1{,}32 \approx 797{,}68\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg}.
A energia interna média no estado final é
u_{2}=x_{2}\,u_{g2} + (1-x_{2})\,u_{f2} =0,75\cdot 2582{,}38 + 0,25\cdot 797{,}68.
Calculando:
u_{2}\approx 1936{,}79 + 199{,}42 = 2136{,}21\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg}.

Passo 8

Calcular Q usando Q=m(u_{2}-u_{1}):
\Delta u = u_{2}-u_{1}=2136{,}21 - 2601{,}56 = -465{,}35\\ \mathrm{kJ}\!/\mathrm{kg}.
Com m\approx 1{,}962\\ \mathrm{kg}, temos
Q = m\,\Delta u \approx 1{,}962\cdot(-465{,}35)\approx -912{,}9\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação do sinal: Q<0 significa que houve liberação de calor para o ambiente (o sistema perdeu cerca de 913\\ \mathrm{kJ}).

Resposta

Q \approx -9,13\times10^{2}\\ \mathrm{kJ} (ou seja, cerca de 913\\ \mathrm{kJ} liberados)\newline
P_{2}\approx 1187\\ \mathrm{kPa} (aproximadamente 1{,}19\\ \mathrm{MPa})

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