Qual a redução do volume boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{V} de uma esfera de aço com 25 mm de diâmetro, submetida à pressão hidrostática de 14 MPa (Admitir E=210 \mathrm{GPa} e v=0,3 )?
O valor de boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{V} :
\begin{aligned} & \frac{\Delta V}{V}=-\frac{3 \cdot(1-2 \cdot v) \cdot \rho}{E} \\\ & \Delta V=-\frac{3 \cdot(1-2 \cdot v) \cdot \rho}{E} \cdot[V]=-\frac{3 \cdot(1-2 \cdot v) \cdot \rho}{E} \cdot\left[\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3}\right] \end{aligned}
\Delta V=-0,654 \mathrm{~mm}^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá uma esfera de aço de diâmetro 25,mm submetida a uma pressão hidrostática p = 14,MPa. Sabemos que o módulo de Young é E = 210,GPa e o coeficiente de Poisson é \nu = 0,3. Queremos calcular a redução de volume \Delta V. Para isso usaremos a relação de elasticidade linear para deformação volumétrica sob pressão hidrostática:
\frac{\Delta V}{V} = -\frac{3\,(1-2\,\nu)\,p}{E}.

Passo 2

Primeiro encontramos o volume inicial V da esfera. O raio é
r = \frac{d}{2} = \frac{25\text{ mm}}{2} = 12{,}5\text{ mm},
logo
V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^3 = \frac{4}{3}\,\pi\,(12{,}5)^3\\ \text{mm}^3 \approx 8181{,}0\\ \text{mm}^3.

Passo 3

Agora calculamos a deformação volumétrica relativa:
\frac{\Delta V}{V} = -\frac{3\,(1-2\,\nu)\,p}{E} = -\frac{3\,(1 - 2\cdot 0,3)\cdot 14\\ \text{MPa}}{210\\ \text{GPa}}.
Convertendo E para MPa 210\\ \text{GPa}=210000\\ \text{MPa}:
\frac{\Delta V}{V} = -\frac{3\,(1 - 0{,}6)\cdot 14}{210000} = -\frac{3\cdot 0{,}4\cdot 14}{210000} = -8{,}0\times 10^{-5}.

Passo 4

Finalmente, a variação de volume é
\Delta V = \frac{\Delta V}{V}\,\times V = -8{,}0\times 10^{-5}\times 8181{,}0\\ \text{mm}^3 \approx -0{,}654\\ \text{mm}^3.

Resposta

\displaystyle \Delta V \approx -0{,}654\\ \text{mm}^3

Exercícios relacionados