Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
а) ;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma matriz de tamanho e queremos reduzi-la à forma escada reduzida por linha. Depois disso, vamos calcular o posto (que é basicamente o número de linhas independentes) e a nulidade (que nos diz quantas soluções livres temos no sistema associado). Para isso, vamos usar as operações elementares de linha, que são movimentos que podemos fazer nas linhas da matriz sem mudar as propriedades dela.
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde é fácil identificar o posto e a nulidade.
Passo 3
Vamos começar pela primeira linha. O primeiro elemento já é 1, o que é ótimo para começar. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, vamos fazer as seguintes operações:
2 - 2 times 1 = 0 -1 - 2 times (-2) = -1 + 4 = 3 2 - 2 times 3 = 2 - 6 = -4 3 - 2 times (-1) = 3 + 2 = 5
3 - 3 times 1 = 0 1 - 3 times (-2) = 1 + 6 = 7 2 - 3 times 3 = 2 - 9 = -7 3 - 3 times (-1) = 3 + 3 = 6
Agora, vamos focar na segunda coluna. O elemento na posição (2,2) é 3. Queremos que ele seja 1 para facilitar. Então, vamos dividir a segunda linha por 3:
L2' = [0, 1, -43, 53]
Isso dá:
1 & -2 & 3 & -1 0 & 1 & -43 & 53 0 & 7 & -7 & 6
A matriz agora é:
Passo 5
Vamos zerar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna, ou seja, o 7 na posição (3,2). Para isso, usamos a segunda linha:
Agora, vamos simplificar a terceira linha para ter um 1 na posição (3,3). Multiplicamos a terceira linha por 0 times 37 = 0 0 times 37 = 0 73 times 37 = 1 -173 times 37 = -177 :
1 & -2 & 3 & -1 0 & 1 & -43 & 53 0 & 0 & 1 & -177
Calculando:
Então,
A matriz agora é:
Passo 7
Vamos agora zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, na segunda linha:
0 + 43 times 0 = 0 1 + 43 times 0 = 1 -43 + 43 times 1 = 0 53 + 43 times (-177) = 53 - 6821 = 35 - 6821 = -3321 = -117
Calculando:
1 - 3 times 0 = 1 -2 - 3 times 0 = -2 3 - 3 times 1 = 0 -1 - 3 times (-177) = -1 + 517 = -7 + 517 = 447