Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida (por linhas):
\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma escalonada reduzida (por linhas) a matriz fornecida. A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right].
Resumo do que é pedido:
  • Encontrar a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) de A.
  • Todas as entradas da matriz e operações a seguir serão mostradas passo a passo.

Passo 2

Rápida explicação das ferramentas que vou usar (passei isto de forma prática para a prova):
  • Operações elementares por linhas permitidas:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por escalar não nulo: kR_i (com k\neq0);
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i + kR_j\to R_i.
  • Forma escalonada reduzida por linhas (RREF) tem estas propriedades:
    • cada linha não nula começa com um 1 (chamado pivô);
    • cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna;
    • pivôs aparecem à direita quando descemos pelas linhas (strictly increasing columns);
    • linhas nulas (todas zeros) ficam abaixo das não nulas.
      Vou aplicar essas operações até obter RREF.

Passo 3

Primeiro passo prático: trocar a linha 1 com a linha 2 para colocar um pivô 1 na primeira linha (já que a linha 2 tem entrada 1 na coluna 1). Operação:
R_1 \leftrightarrow R_2.
Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminar as entradas abaixo do pivô na coluna 1 (usar R_1 para zerar as entradas nas linhas 3 e 4).
  • Para a linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
    Cálculo: [3,-4,2] - 3[1,1,3] = [3-3,\,-4-3,\;2-9] = [0,-7,-7].
  • Para a linha 4: R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1.
    Cálculo: [2,-3,1] - 2[1,1,3] = [2-2,\,-3-2,\;1-6] = [0,-5,-5].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & -7 & -7 \\\\ 0 & -5 & -5 \end{array}\right].

Passo 5

Agora escolhemos a segunda linha não nula para o pivô da segunda coluna. A linha 2 tem entrada 2 na coluna 2, então primeiro normalizamos essa linha dividindo por 2:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2.
Cálculo: [0,2,2]\mapsto[0,1,1].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -7 & -7 \\\\ 0 & -5 & -5 \end{array}\right].

Passo 6

Zerar todas as outras entradas na coluna 2 para obter o pivô isolado.
  • Zeramos a entrada em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
    Cálculo: [1,1,3]-[0,1,1]=[1,0,2].
  • Zeramos a entrada em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2.
    Cálculo: [0,-7,-7]+7[0,1,1]=[0,0,0].
  • Zeramos a entrada em R_4: R_4 \leftarrow R_4 + 5R_2.
    Cálculo: [0,-5,-5]+5[0,1,1]=[0,0,0].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Verificação das condições de RREF:
  • As duas primeiras linhas não nulas têm pivôs 1 nas colunas 1 e 2 respectivamente.
  • Em cada coluna de pivô, todos os outros elementos são zero.
  • As linhas nulas estão abaixo das não nulas.
    Portanto a matriz está em forma escalonada reduzida por linhas. Observação interpretativa rápida: a terceira coluna é coluna livre (não tem pivô), então a classificação é rank 2.

Resposta

\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]