Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida (por linhas):
\left[\begin{array}{ccccc}1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\\\ 0 & 1 & 2 & -3 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a matriz à forma escalonada reduzida (por linhas). A matriz dada é:
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\\\ 0 & 1 & 2 & -3 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos:
  • É uma matriz de 4\times5.
  • As linhas 1 e 2 já têm entradas não nulas iniciais 1 nas colunas 1 e 2, respectivamente.
  • A terceira linha tem um único elemento não nulo -5 na coluna 4.
  • A quarta linha é a linha zero.
    O pedido é transformar A usando operações elementares de linha até obter a forma escalonada reduzida por linhas (RREF).

Passo 2

Explicação do que vamos fazer (sem pular etapas):
  • Operações elementares permitidas:
    1. trocar duas linhas entre si;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Objetivo da forma escalonada reduzida (RREF):
    • cada linha não-nula tem um primeiro elemento não-nulo igual a 1 (chamado de pivô);
    • cada pivô é o único elemento não-nulo na sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô);
    • pivôs aparecem cada vez mais à direita quando se desce na matriz;
    • linhas de zeros (se houver) ficam abaixo das linhas não-nulas.
      Estratégia prática para essa matriz:
  • Já temos pivôs óbvios nas colunas 1 (linha 1) e 2 (linha 2).
  • A linha 3 tem -5 na coluna 4; vamos transformar isso em pivô 1 dividindo a linha 3 por -5, e depois eliminar os elementos nas colunas de pivô acima dela.

Passo 3

Anotar as linhas iniciais para referência:
R_1=(1\;\;4\;\;5\;\;-9\;\;-7), \qquad R_2=(0\;\;1\;\;2\;\;-3\;\;-3),
R_3=(0\;\;0\;\;0\;\;-5\;\;0), \qquad R_4=(0\;\;0\;\;0\;\;0\;\;0).

Passo 4

Transformar o pivô da terceira linha em 1. Aplicar a operação: multiplicar R_3 por -\dfrac{1}{5}.
Em notação de operação de linha:
R_3 \leftarrow -\dfrac{1}{5}R_3.
Calculando cada entrada de R_3:
(0,0,0,-5,0)\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)=(0,0,0,1,0).
Matriz resultante após essa operação:
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\\\ 0 & 1 & 2 & -3 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora eliminar os elementos não nulos acima do pivô na coluna 4. Observa-se:
  • Em R_1 a coluna 4 tem -9.
  • Em R_2 a coluna 4 tem -3.
    Usamos combinações com R_3 (que agora tem pivô 1 em coluna 4) para zerá-los:
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 + 9R_3, \qquad R_2 \leftarrow R_2 + 3R_3.
Calculemos R_1 + 9R_3:
R_1=(1,4,5,-9,-7),\quad 9R_3=(0,0,0,9,0),
R_1+9R_3=(1,4,5,0,-7).
Calculemos R_2 + 3R_3:
R_2=(0,1,2,-3,-3),\quad 3R_3=(0,0,0,3,0),
R_2+3R_3=(0,1,2,0,-3).
Matriz após essas operações:
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 & 0 & -7 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora precisamos tornar a coluna do pivô da segunda linha ( coluna 2) com zeros acima (eliminar o 4 em R_1). Usamos R_2 para isso:
Operação:
R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2.
Calculemos R_1 - 4R_2:
R_1=(1,4,5,0,-7),\quad 4R_2=(0,4,8,0,-12),
R_1-4R_2=(1,0,5-8,0,-7-(-12))=(1,0,-3,0,5).
Matriz após essa operação:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 5 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 7

Verificação das condições da forma escalonada reduzida por linhas:
  • Os pivôs estão em R_1 coluna 1, em R_2 coluna 2 e em R_3 coluna 4; cada um é 1.
  • Em cada coluna de pivô, todas as outras entradas são 0: coluna 1 = (1,0,0,0), coluna 2 = (0,1,0,0), coluna 4 = (0,0,1,0).
  • Os pivôs vão para a direita quando descemos as linhas: colunas 1<2<4.
  • Linhas de zeros (linha 4) estão por baixo.
    Portanto a matriz já está na forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 5 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}