Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
u_xx + 2 u_xy + 5 u_yy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação diferencial parcial aqui: . Nosso objetivo é transformar essa equação para a forma canônica e, se possível, encontrar suas soluções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais parciais, especialmente como classificá-las e reduzi-las para uma forma mais simples de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo dessa equação. Em equações diferenciais parciais de segunda ordem, a classificação (elíptica, hiperbólica ou parabólica) depende dos coeficientes dos termos , , e . A gente usa um discriminante que é calculado assim: , onde , e são os coeficientes de , e respectivamente.
No nosso caso, , e . Então,
Como o discriminante é negativo, isso nos diz que a equação é do tipo elíptica.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é elíptica, vamos reduzi-la para a forma canônica. Isso envolve mudar as variáveis de e para novas variáveis que simplifiquem a equação. Para isso, precisamos encontrar as direções principais da equação, que são dadas pelas soluções da equação característica associada.
A equação característica é dada por:
Substituindo os valores, temos:
Dividindo tudo por :
Resolvendo essa equação quadrática para :
Isso nos mostra que as direções principais são complexas, reforçando que a equação é elíptica.

Passo 4

Como a equação é elíptica, podemos introduzir novas variáveis que são combinações lineares de e . Vamos escolher:
Essas novas variáveis simplificam a equação original, transformando os termos mistos em termos separados de e .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a equação original em termos das novas variáveis e . Para isso, usamos a regra da cadeia para as derivadas parciais:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:

Passo 6

Agora, a equação está em forma canônica. Vamos tentar resolver essa equação:
Podemos reescrever isso como:
Esse tipo de equação pode ser resolvido por métodos de separa��ão de variáveis ou assumindo soluções na forma de funções exponenciais. Para simplificar, vamos assumir uma solução da forma:
Substituindo na equação:
Para que isso valha para todo e , o coeficiente deve ser zero:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Isso indica que as soluções são funções harmônicas, envolvendo senos e cossenos. Assim, a solução geral pode ser escrita como:
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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