Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: c) 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para transformar a equação 
  para a forma normal. Além disso, precisamos encontrar o comprimento e os ângulos directores da normal dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a forma normal de uma equação de plano. A forma normal é uma maneira de escrever a equação do plano onde o coeficiente de 
 , 
  e 
  é 1, e o lado direito da equação representa a distância do plano à origem.
Para converter 
  para a forma normal, precisamos dividir todos os termos da equação pelo comprimento do vetor normal.
Passo 3
O vetor normal de um plano é o vetor cujos componentes são os coeficientes de 
 , 
  e 
  na equação do plano. No nosso caso, o vetor normal é 
 .
O comprimento desse vetor, que também chamamos de norma, é calculado usando a fórmula:
Onde 
 , 
  e 
  são os coeficientes de 
 , 
  e 
  respectivamente.
Calculando:
Passo 4
Agora que temos o comprimento do vetor normal, podemos dividir todos os coeficientes da equação original por 11 para obter a forma normal:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar os ângulos directores da normal, usamos as funções trigonométricas que relacionam os componentes do vetor normal com o comprimento do vetor. Os ângulos directores 
 , 
  e 
  são os ângulos que a normal forma com os eixos 
 , 
  e 
 , respectivamente.
As fórmulas para os cossenos directionais são:
Onde 
 , 
 , 
  e 
 .
Calculando:
Agora, para encontrar os ângulos:
Resposta
A forma normal da equação é 
 . O comprimento do vetor normal é 11, e os ângulos directores são 
 , 
  e 
 .