Refaça o exercício anterior considerando a força F=x i. A força F é conservativa? Encontre a energia potencial U associada à força F.

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Refaça o exercício anterior considerando a força . A força é conservativa? Encontre a energia potencial associada.”
Conteúdo: forças conservativas e energia potencial.
O que vamos precisar:
  1. Saber que uma força é conservativa se o rotor ( ) for zero (ou se existir tal que ).
  2. Integrar para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos checar se nablatimesvec F = hatimath & hatjmath & hat k partialx & partialy & partialz x & 0 & 0 =l(partialy0-partialz0r)hatimath -l(partialx0-partialzxr)hatjmath +l(partialx0-partialyxr)hat k =0, é conservativa.
Em componentes (num espaço 3D), .
O rotor é
Como , a força é conservativa.

Passo 3

Já que vec F=-nabla U Longrightarrow Fx=-partial Upartial x, Fy=-partial Upartial y, Fz=-partial Upartial z é conservativa, existe potencial -partial Upartial x=x Longrightarrow partial Upartial x=-x tal que
U(x,y,z)=-integral x,dx=-x^22+C(y,z)
Aqui só temos e . Então
Integrando em :
Agora, como e (porque ), isso implica que não depende de nem de . Ou seja, é constante.

Resposta

A força boxedU(x)=-x^22+C, é conservativa e a energia potencial associada é
onde é uma constante arbitrária (por exemplo, escolhendo , fica ).

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