Refaça o exercício anterior considerando a força . A força é conservativa? Encontre a energia potencial associada à força .
Passo 1
Beleza, a questão diz: “Refaça o exercício anterior considerando a força . A força é conservativa? Encontre a energia potencial associada.”
Conteúdo: forças conservativas e energia potencial.
O que vamos precisar:
Saber que uma força é conservativa se o rotor () for zero (ou se existir tal que ).
Integrar para achar .
Passo 2
Primeiro, vamos checar se é conservativa.
Em componentes (num espaço 3D), .
O rotor é
Como , a força é conservativa.
Passo 3
Já que vec F=-nabla U Longrightarrow Fx=-partial Upartial x, Fy=-partial Upartial y, Fz=-partial Upartial z é conservativa, existe potencial -partial Upartial x=x Longrightarrow partial Upartial x=-x tal que
U(x,y,z)=-integral x,dx=-x^22+C(y,z)
Aqui só temos e . Então
Integrando em :
Agora, como e (porque ), isso implica que não depende de nem de . Ou seja, é constante.
Resposta
A força boxedU(x)=-x^22+C, é conservativa e a energia potencial associada é
onde é uma constante arbitrária (por exemplo, escolhendo , fica ).