Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
10.
f(x)=e^{x+1} \log _{10}\left(\frac{x+1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{x+1}\,\log_{10}\!\bigl(\tfrac{x+1}{x}\bigr)
em relação a x.
O conteúdo envolvido é regra do produto e regra da cadeia (para derivar a função logarítmica de base 10).

Passo 2

Chamamos
u(x)=e^{x+1}, \quad v(x)=\log_{10}\!\bigl(\tfrac{x+1}{x}\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Derivando u(x)=e^{x+1} usando que \tfrac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)} e g(x)=x+1 tem g'(x)=1, obtemos
u'(x)=e^{x+1}.

Passo 4

Para v(x)=\log_{10}\!\bigl(w(x)\bigr) com w(x)=(x+1)/x, usamos
\tfrac{d}{dx}\log_{10}(w) =\frac{1}{w\,\ln 10}\;w'(x).
Calculando
w'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x+1}{x}\Bigr) =\frac{x\cdot1-(x+1)\cdot1}{x^2} =-\frac{1}{x^2},
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v'(x) =\frac{-1/x^2}{\bigl((x+1)/x\bigr)\,\ln 10} =-\frac{1}{x(x+1)\,\ln 10}.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x), fica
f'(x) =e^{x+1}\,\log_{10}\!\bigl(\tfrac{x+1}{x}\bigr) +e^{x+1}\,\Bigl(-\frac{1}{x(x+1)\,\ln 10}\Bigr).
Agrupando,
f'(x) =e^{x+1}\!\left[\log_{10}\!\bigl(\tfrac{x+1}{x}\bigr) -\frac{1}{x(x+1)\,\ln 10}\right].

Resposta

f'(x) =e^{x+1}\!\left[\log_{10}\!\bigl(\tfrac{x+1}{x}\bigr) -\frac{1}{x(x+1)\,\ln 10}\right].

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