Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
15.
f(x)=\cos \left(\frac{x^{4}}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\!\Bigl(\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr)
em relação a x. Aqui vamos usar a regra da cadeia, que diz que se f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Além disso, sabemos que
– a derivada de \cos(u) é -\sin(u),
– e a derivada de x^{4}/4 será calculada em seguida.

Passo 2

Identificamos as funções interna e externa: \displaystyle u(x)=\frac{x^{4}}{4} e g(u)=\cos(u).
Logo,
g'(u) = -\sin(u),
e precisamos de u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de \displaystyle u(x)=\frac{x^{4}}{4}.
Como
u'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr) = \frac{4x^{3}}{4} = x^{3},
já temos u'(x).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) = \bigl(-\sin\bigl(u(x)\bigr)\bigr)\cdot x^{3} = -\,x^{3}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr).

Resposta

f'(x) = -\,x^{3}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr).

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