Uma régua de um metro é pendurada por um ponto situado a uma distância a do centro e começa a oscilar como um pêndulo físico. Qual dos valores de a a seguir está associado ao menor período das oscilações?
a. a=0,1 m
b. a=0,2 m
c. a=0,3 m
d. a=0,4 m
e. a=0,5 m
Limpar minha escolha

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma régua de um metro pendurada de um ponto que está a uma distância a do centro. Quando a gente puxa e solta, ela começa a oscilar como um pêndulo físico. A questão pergunta qual valor de a entre as opções dadas vai fazer com que o período das oscilações seja o menor possível. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos físicos e momentos de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período T de um pêndulo físico:
T = 2pi raizImgd
Aqui:
  • I é o momento de inércia da régua em relação ao ponto de apoio.
  • m é a massa da régua.
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
  • d é a distância do ponto de apoio ao centro de massa da régua.

Passo 3

Como a régua tem um metro de comprimento e é uniforme, o centro de massa está no meio, ou seja, a 0,5 metros de qualquer extremidade. Se a régua é pendurada a uma distância a do centro, então d = a.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o momento de inércia I da régua em relação ao ponto de apoio. Usamos o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos diz que:
I = Icm + m a^2
Onde I_{cm} é o momento de inércia da régua em relação ao seu centro de massa. Para uma régua uniforme de comprimento L = 1 m, temos:
Icm = 112 m L^2 = 112 m (1)^2 = 112 m
Então,
I = 112 m + m a^2

Passo 5

Substituindo I e d = a na fórmula do período:
T = 2pi raiz112 m + m a^2m g a = 2pi raiz112 + a^2g a
Observa que a massa m cancela, então fica:
T = 2pi raiz112 + a^2g a

Passo 6

Para encontrar o valor de a que minimiza o período T, vamos focar na parte dentro da raiz:
112 + a^2a = 112a + a
Queremos minimizar essa expressão. Vamos derivar em relação a a e igualar a zero para achar o mínimo.

Passo 7

Derivando:
dda(112a + a) = -112a^2 + 1
Igualando a zero:
-112a^2 + 1 = 0 112a^2 = 1 12a^2 = 1 a^2 = 112 a = 1raiz12 approx 0,2887 , m

Passo 8

Agora, vamos ver qual das opções está mais pr��xima de 0,2887 metros. Olhando as alternativas:
a) 0,1 m
b) 0,2 m
c) 0,3 m
d) 0,4 m
e) 0,5 m
A que mais se aproxima é c) a = 0,3 m.

Resposta

A opção c) a = 0,3 m está associada ao menor período das oscilações.

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