Uma régua de um metro é pendurada por um ponto situado a uma distância a do centro e começa a oscilar como um pêndulo físico. Qual dos valores de a a seguir está associado ao menor período das oscilações?
a.
b.
c.
d.
e.
Limpar minha escolha
a.
b.
c.
d.
e.
Limpar minha escolha
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma régua de um metro pendurada de um ponto que está a uma distância a do centro. Quando a gente puxa e solta, ela começa a oscilar como um pêndulo físico. A questão pergunta qual valor de a entre as opções dadas vai fazer com que o período das oscilações seja o menor possível. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos físicos e momentos de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período T de um pêndulo físico:
Aqui:
- I é o momento de inércia da régua em relação ao ponto de apoio.
- m é a massa da régua.
- g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
- d é a distância do ponto de apoio ao centro de massa da régua.
Passo 3
Como a régua tem um metro de comprimento e é uniforme, o centro de massa está no meio, ou seja, a 0,5 metros de qualquer extremidade. Se a régua é pendurada a uma distância a do centro, então d = a.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o momento de inércia I da régua em relação ao ponto de apoio. Usamos o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos diz que:
Onde I_{cm} é o momento de inércia da régua em relação ao seu centro de massa. Para uma régua uniforme de comprimento L = 1 m, temos:
Então,
Passo 5
Substituindo I e d = a na fórmula do período:
Observa que a massa m cancela, então fica:
Passo 6
Para encontrar o valor de a que minimiza o período T, vamos focar na parte dentro da raiz:
Queremos minimizar essa expressão. Vamos derivar em relação a a e igualar a zero para achar o mínimo.
Passo 7
Derivando:
Igualando a zero:
Passo 8
Agora, vamos ver qual das opções está mais pr��xima de 0,2887 metros. Olhando as alternativas:
a) 0,1 m
b) 0,2 m
c) 0,3 m
d) 0,4 m
e) 0,5 m
b) 0,2 m
c) 0,3 m
d) 0,4 m
e) 0,5 m
A que mais se aproxima é c) a = 0,3 m.
Resposta
A opção c) a = 0,3 m está associada ao menor período das oscilações.