A relação correta entre tensões em uma ligação estrela é:
A) V_{-} L=V_{-} F
B) V_{-} L=\sqrt{3} \times V_{-} F
C) V_{-} L=V_{-} F / \sqrt{3}
D) V_{-} L=3 \times V_{-} F
E) V_{-} L=2 \times V_{-} F

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação correta entre tensões em uma ligação estrela entre a tensão de linha e a tensão de fase. As opções dadas são:
A) V_{L}=V_{F}
B) V_{L}=\sqrt{3}\times V_{F}
C) V_{L}=V_{F}/\sqrt{3}
D) V_{L}=3\times V_{F}
E) V_{L}=2\times V_{F}
Informações relevantes extraídas do enunciado (notação que usarei):
  • V_{F} é a tensão de fase, isto é, a tensão entre cada fase e o neutro (fase–neutro).
  • V_{L} é a tensão de linha, isto é, a tensão entre duas fases quaisquer (fase–fase).
A partir daqui vamos deduzir a relação entre V_{L} e V_{F}.

Passo 2

Conceito essencial (explicação bem didática do que são as tensões como vetores/phasors):
Em sistemas trifásicos equilibrados, cada tensão de fase pode ser representada por um vetor (phasor) no plano complexo. Esses três vetores têm a mesma magnitude V_{F} e estão defasados entre si de 120^\circ. Podemos escolher como referência:
\text{fase A: } V_{AN}=V_{F}\angle 0^\circ
\text{fase B: } V_{BN}=V_{F}\angle -120^\circ
\text{fase C: } V_{CN}=V_{F}\angle +120^\circ
Aqui V_{AN} significa tensão entre fase A e neutro, etc. A notação V_{F}\angle \theta representa um vetor com módulo V_{F} e ângulo \theta.

Passo 3

O que é a tensão de linha em termos desses phasors:
A tensão de linha entre a fase A e a fase B, chamada V_{AB}, é a diferença entre os phasors de fase:
V_{AB}=V_{AN}-V_{BN}.
Ou seja, a tensão entre duas linhas é o vetor diferença das tensões fase–neutro correspondentes.

Passo 4

Cálculo do módulo de V_{AB} usando a lei dos cossenos (explicação da ideia):
Quando subtraímos dois vetores de mesma magnitude V_{F} e com diferença angular \Delta\theta, o módulo do resultado é dado pela lei dos cossenos:
|V_{AB}|=\sqrt{V_{F}^{2}+V_{F}^{2}-2V_{F}\cdot V_{F}\cos(\Delta\theta)}.
No nosso caso \Delta\theta=120^\circ. Isso vem do fato geométrico: o quadrado da diferença de dois vetores é soma dos quadrados menos duas vezes o produto vezes o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 5

Substituindo \Delta\theta=120^\circ e \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2} na expressão:
|V_{AB}|=\sqrt{V_{F}^{2}+V_{F}^{2}-2V_{F}^{2}\cos(120^\circ)}
|V_{AB}|=\sqrt{2V_{F}^{2}-2V_{F}^{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)}
|V_{AB}|=\sqrt{2V_{F}^{2}+V_{F}^{2}}
|V_{AB}|=\sqrt{3V_{F}^{2}}=\sqrt{3}\,V_{F}.

Passo 6

Generalização e interpretação final (didática):
O resultado acima vale para qualquer par de fases em um sistema balanceado em estrela. Assim, a tensão de linha (módulo da diferença entre duas tensões de fase) é maior que a tensão de fase por um fator \sqrt{3}. Em palavras simples: por causa da diferença angular de 120^\circ entre as fases, a tensão entre duas linhas resulta na soma vetorial que aumenta a magnitude em \sqrt{3} vezes.
Exemplo numérico para fixar: se V_{F}=230 V (tensão fase–neutro comum em muitos lugares), então
V_{L}=\sqrt{3}\times 230 \approx 398,37\\ \text{V},
que costuma ser arredondado para 400 V — por isso é comum ver 230/400 V como padrão trifásico.

Passo 7

Conclusão e comparação com as alternativas:
A relação obtida é V_{L}=\sqrt{3}\,V_{F}, que corresponde exatamente à alternativa B.

Resposta

B) V_{L}=\sqrt{3}\,V_{F}

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