Relação fundamental e gás de Van der Waals
Considere que um gás de Van der Waals é descrito pela relação fundamental molar: s(u, v)= c ln (u+av)+R ln (v-b)+s0, onde a, b e c são constantes positivas que caracterizam o gás.
A partir desta relação derive as equações de estado térmica e mecânica para o gás: u=u(T, v) e p= p(T, v).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem a relação fundamental molar do gás de Van der Waals:
s(u,v)=clnl(u+avr)+Rln(v-b)+s0,,
onde são constantes positivas. Preciso extrair duas “equações de estado”:
1. – a energia interna em função da temperatura e do volume molar;
2. – a pressão em função de e .
Para isso, vou usar as definições termodinâmicas que vêm da diferenciação de :
  • .
  • .

Passo 2

Calcular l(partial spartial ur)v = c;1,u+tfracav,;partialpartial ul(u+tfracavr) = c,u+tfracav,, mantendo 1T=c,u+tfracav, longrightarrow T=,u+tfracav,c, constante.
Como , a única parte que depende de é o . Então
Pela definição, isso vale . Logo

Passo 3

Agora isolamos u+av=c,T longrightarrow boxedu=c,T-av, nessa expressão:
Pronto: já temos em função de e .

Passo 4

Partimos para partialpartial vl[clnl(u+tfracavr)r] = c;1,u+tfracav,;l(-av^2r) = -c,a,v^2l(u+tfracavr),, com partialpartial vl[Rln(v-b)r] = R,v-b,, fixo.
Temos duas partes em l(partial spartial vr)u = -c,a,v^2l(u+tfracavr), ;+;R,v-b, :
Derivando a parte 1:
Derivando a parte 2:
Somando,
E isso é igual a .

Passo 5

Para achar u+av=c,T Longrightarrow 1,u+tfracav,=1,c,T, , multiplica por -c,a,v^2,cdot1,c,T, =-a,T,v^2, . Mas a gente já sabe que
p =Tl[-a,T,v^2,+R,v-b,r] =R,T,v-b,-a,v^2,
Assim o termo vira
Multiplicando tudo por :

Resposta

u(T,v)=c T – a/v
p(T,v)=R T/(v–b) – a/v²

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