Qual a relação entre a quantidade de cargas acumuladas e a corrente direta passando por uma junção PN?

Passo 1

O que o enunciado pergunta: “Qual a relação entre a quantidade de cargas acumuladas e a corrente direta passando por uma junção PN?”\n
Informações/variáveis que vamos usar (dados implícitos no enunciado):\n
  • Q: quantidade total de carga armazenada/extra (em coulombs) causada pela injeção de portadores na junção PN.\n
  • I: corrente direta (forward current) que passa pela junção (em ampères).\n
  • \tau: tempo de vida efetivo médio (lifetime) dos portadores que determina a velocidade com que essas cargas se recombinam (em segundos).\n
    Não há outros números fornecidos; a pergunta pede a relação geral entre Q e I.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que acontece (sem fórmulas ainda):\n
Quando a junção PN é polarizada no sentido direto, elétrons e lacunas são injetados nas regiões neutras ao redor da junção e ficam como “cargas armazenadas” (excesso de portadores). Essas cargas não ficam ali para sempre: elas se recombinam com o tempo. A corrente que entra pela junção alimenta tanto a recombinação quanto a variação do total de carga armazenada. A variável \tau representa o tempo típico que um portador “vive” antes de se recombinar — quanto maior \tau, mais carga fica armazenada para uma mesma corrente.

Passo 3

Escrevendo a equação de conservação (controle de carga):\n
A taxa de variação da carga armazenada é igual à corrente que injeta portadores menos a taxa com que eles são perdidos por recombinação. Em forma matemática, essa ideia fica assim:
\frac{dQ}{dt}=I-\frac{Q}{\tau}.
Explicando cada termo:\n
  • \frac{dQ}{dt} é a variação no tempo da carga armazenada (C/s = A).\n
  • I é a corrente que fornece portadores (A).\n
  • \frac{Q}{\tau} é a taxa de recombinação média (C/s = A), assumindo recombinação proporcional à carga armazenada com constante de tempo \tau.

Passo 4

Rearranjando a equação para destacar a corrente como função da carga:\n
I=\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{\tau}.
Interpretação clara e prática:\n
  • O termo \frac{Q}{\tau} é a corrente necessária para repor as cargas que se perdem por recombinação (corrente de recombinação em regime estacionário).\n
  • O termo \frac{dQ}{dt} é a corrente necessária para aumentar (ou diminuir, se negativo) a carga armazenada — ou seja, para carregar ou descarregar o “reservatório” de portadores.

Passo 5

Caso especial muito usado em provas: regime estacionário (DC), onde a carga armazenada não muda com o tempo. Nesse caso \frac{dQ}{dt}=0. Substituindo na equação do passo anterior:
I=\frac{Q}{\tau}.
Daí vem a relação direta e muito útil:
Q=\tau\,I.
Significado: em regime DC, a carga armazenada é proporcional à corrente direta, com fator de proporcionalidade igual ao tempo de vida efetivo \tau. Isso é a base do chamado “modelo de controle de carga”.

Passo 6

Exemplo numérico simples para fixar (faça na prova para checar ordem de grandeza):\n
Se I=1\\ \text{mA}=10^{-3}\\ \text{A} e \tau=1\\ \mu\text{s}=10^{-6}\\ \text{s}, então
Q=\tau I=(10^{-6})(10^{-3})=10^{-9}\\ \text{C}=1\\ \text{nC}.
Isto mostra que correntes pequenas com tempos de vida pequenos geram cargas armazenadas pequenas em termos absolutos, mas suficientes para afetar comutação.

Passo 7

Observações práticas e extensões úteis para a prova (sem complicar demais):\n
  • Em regime transiente, use sempre a forma completa I=\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{Q}{\tau}.\n
  • A partir de Q=\tau I podemos obter a capacitância de difusão (útil para análise de comutação): C_d=\dfrac{dQ}{dV}=\tau\dfrac{dI}{dV}. Para um diodo ideal com I(V)=I_S\big(e^{V/(nV_T)}-1\big), tem-se \dfrac{dI}{dV}=\dfrac{I}{nV_T} e, portanto,\n C_d=\tau\frac{I}{nV_T}.
Aqui n é o fator de idealidade e V_T a tensão térmica ( \approx 25{,}8\\ \text{mV} a 300\\ \text{K}).\n
  • Há outras contribuições de carga (capacitância de depleção, efeitos de injeção forte, recombinação na região de depleção) que alteram detalhes, mas a relação de controle de carga acima é a essência para muitos problemas de prova.

Resposta

I=\dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{Q}{\tau}\n
Em regime estacionário (DC): Q=\tau\,I

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