Como relacionamos a viscosidade cinemática com a viscosidade dinâmica?

Passo 1

O que o enunciado pede: relacionar a viscosidade cinemática com a viscosidade dinâmica — ou seja, escrever a fórmula que liga as duas grandezas e explicar o que cada símbolo representa.
Informações dadas (implícitas no enunciado): nenhuma numérica específica; pede-se a relação geral entre as duas viscosidades.

Passo 2

Definições e símbolos (vamos deixar tudo claro antes de usar fórmulas).
  • Viscosidade dinâmica: denotada por \mu. É a medida da resistência interna de um fluido ao escoamento — intuitivamente, quanto “força de atrito” interna aparece quando há um gradiente de velocidade. Unidade no SI: \mathrm{Pa\cdot s} (que equivale a \mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}).
  • Viscosidade cinemática: denotada por \nu (leia “nu”). É a razão entre a viscosidade dinâmica e a densidade; representa a capacidade do fluido de difundir momento por unidade de massa. Unidade no SI: \mathrm{m^{2}\!/\!s}.
  • Densidade do fluido: denotada por \rho. Unidade no SI: \mathrm{kg\!/\!m^{3}}.

Passo 3

Origem física da relação: comece pela lei de um fluido newtoniano para tensão de cisalhamento. Para um fluido newtoniano unidimensional,
\tau = \mu\,\frac{\partial u}{\partial y},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (força por unidade de área), u é a velocidade na direção do escoamento e y é a coordenada normal ao escoamento. Essa equação define \mu como a constante de proporcionalidade entre tensão e gradiente de velocidade.

Passo 4

Por que aparece \nu: em equações de conservação de quantidade de movimento (por exemplo, a equação de Navier–Stokes), o termo difusivo do momento tem a forma
\mu\,\nabla^{2}\mathbf{u}.
Ao dividir a equação de quantidade de movimento pela densidade \rho (para escrever a equação em termos de aceleração por unidade de massa), esse termo difusivo fica com um fator
\frac{\mu}{\rho}\,\nabla^{2}\mathbf{u}.
O coeficiente \dfrac{\mu}{\rho} aparece como um coeficiente de difusão de momento por unidade de massa — é exatamente a viscosidade cinemática \nu. Assim, chegamos à relação por argumento físico e dimensional:
\nu=\frac{\mu}{\rho}.

Passo 5

Forma equivalente e interpretação prática: a relação anterior pode ser rearranjada como
\mu=\rho\,\nu.
Interpretação: para um mesmo \nu, um fluido mais denso ( \rho maior) terá maior viscosidade dinâmica \mu; para um mesmo \mu, um fluido mais denso terá menor \nu. Fisicamente, \mu dá a força interna por gradiente de velocidade; \nu diz quão rapidamente o momento é difundido por unidade de massa.

Passo 6

Unidades e verificação dimensional rápida:
  • Unidade de \mu: \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{N\cdot s\!/\!m^{2}} = \mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}.
  • Unidade de \rho: \mathrm{kg\!/\!m^{3}}.
    Dividindo,
\frac{\mu}{\rho}\\ \text{tem unidade}\\ \frac{\mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}}{\mathrm{kg\cdot m^{-3}}}=\mathrm{m^{2}\!/\!s},
que é a unidade de \nu. Logo a relação é consistente dimensionalmente.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos (para fixar):
  • Água a aproximadamente 20^\circ\mathrm{C}: \mu\approx 1{,}002\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \rho\approx 998\\ \mathrm{kg\!/\!m^{3}}. Então
\nu=\frac{1{,}002\times10^{-3}}{998}\approx 1{,}004\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}\!/\!s}.
  • Ar a 20^\circ\mathrm{C}: \mu\approx 1{,}81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \rho\approx 1{,}204\\ \mathrm{kg\!/\!m^{3}}. Então
\nu=\frac{1{,}81\times10^{-5}}{1{,}204}\approx 1{,}50\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}\!/\!s}.
Esses números mostram por que, apesar de \mu do ar ser bem menor que o da água, \nu do ar é maior: a densidade do ar é muito menor.

Passo 8

Onde isso aparece em prova e aplicações práticas (dica de como usar rapidamente):
  • Número de Reynolds: pode-se escrever \mathrm{Re}=\dfrac{U L}{\nu} ou \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U L}{\mu}. Saber a relação \nu=\dfrac{\mu}{\rho} permite trocar as formas conforme os dados disponíveis.
  • Sempre verifique unidades: se der \mu e \rho em unidades do SI, o resultado para \nu já sai em \mathrm{m^{2}\!/\!s}.

Resposta

\nu = \dfrac{\mu}{\rho}
\mu = \rho\,\nu