Como relacionamos a viscosidade cinemática com a viscosidade dinâmica?
Passo 1
O que o enunciado pede: relacionar a viscosidade cinemática com a viscosidade dinâmica — ou seja, escrever a fórmula que liga as duas grandezas e explicar o que cada símbolo representa.
Informações dadas (implícitas no enunciado): nenhuma numérica específica; pede-se a relação geral entre as duas viscosidades.
Informações dadas (implícitas no enunciado): nenhuma numérica específica; pede-se a relação geral entre as duas viscosidades.
Passo 2
Definições e símbolos (vamos deixar tudo claro antes de usar fórmulas).
- Viscosidade dinâmica: denotada por
. É a medida da resistência interna de um fluido ao escoamento — intuitivamente, quanto “força de atrito” interna aparece quando há um gradiente de velocidade. Unidade no SI: (que equivale a ). - Viscosidade cinemática: denotada por
(leia “nu”). É a razão entre a viscosidade dinâmica e a densidade; representa a capacidade do fluido de difundir momento por unidade de massa. Unidade no SI: . - Densidade do fluido: denotada por
. Unidade no SI: .
Passo 3
Origem física da relação: comece pela lei de um fluido newtoniano para tensão de cisalhamento. Para um fluido newtoniano unidimensional,
onde
é a tensão de cisalhamento (força por unidade de área),
é a velocidade na direção do escoamento e
é a coordenada normal ao escoamento. Essa equação define
como a constante de proporcionalidade entre tensão e gradiente de velocidade.
Passo 4
Por que aparece
: em equações de conservação de quantidade de movimento (por exemplo, a equação de Navier–Stokes), o termo difusivo do momento tem a forma
Ao dividir a equação de quantidade de movimento pela densidade
(para escrever a equação em termos de aceleração por unidade de massa), esse termo difusivo fica com um fator
O coeficiente
aparece como um coeficiente de difusão de momento por unidade de massa — é exatamente a viscosidade cinemática
. Assim, chegamos à relação por argumento físico e dimensional:
Passo 5
Forma equivalente e interpretação prática: a relação anterior pode ser rearranjada como
Interpretação: para um mesmo
, um fluido mais denso (
maior) terá maior viscosidade dinâmica
; para um mesmo
, um fluido mais denso terá menor
. Fisicamente,
dá a força interna por gradiente de velocidade;
diz quão rapidamente o momento é difundido por unidade de massa.
Passo 6
Unidades e verificação dimensional rápida:
- Unidade de
: . - Unidade de
: .
Dividindo,
que é a unidade de
. Logo a relação é consistente dimensionalmente.
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos (para fixar):
- Água a aproximadamente
: e . Então
- Ar a
: e . Então
Esses números mostram por que, apesar de
do ar ser bem menor que o da água,
do ar é maior: a densidade do ar é muito menor.
Passo 8
Onde isso aparece em prova e aplicações práticas (dica de como usar rapidamente):
- Número de Reynolds: pode-se escrever
ou . Saber a relação permite trocar as formas conforme os dados disponíveis. - Sempre verifique unidades: se der
e em unidades do SI, o resultado para já sai em .