Relembre as regras de derivação de funções escrevendo em cada caso como calcularíamos a derivada indicada:
(f \circ g)^{\prime}(x)=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da composição de duas funções, isto é, calcular
(f\circ g)'(x)
quando f e g são deriváveis. O conteúdo aqui é a regra da cadeia, que indica como derivar f(g(x)).

Passo 2

Defina h(x)=f(g(x)). Pela definição de derivada, temos
h'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f\bigl(g(x+\Delta x)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{\Delta x}.

Passo 3

Como g é derivável, definimos \Delta u = g(x+\Delta x)-g(x), de modo que \Delta u\to 0 quando \Delta x\to 0. Então
\frac{f\bigl(g(x+\Delta x)\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{\Delta x} = \frac{f\bigl(g(x)+\Delta u\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{\Delta u} \;\times\; \frac{\Delta u}{\Delta x}.

Passo 4

Tomando limite de cada fator separadamente, obtemos
\lim_{\Delta u\to 0}\frac{f\bigl(g(x)+\Delta u\bigr)-f\bigl(g(x)\bigr)}{\Delta u} = f'\bigl(g(x)\bigr),
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} = g'(x).
Pela propriedade do produto de limites, concluímos a regra da cadeia.

Resposta

(f\circ g)'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).

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