Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma remessa de 800 estabilizadores de tensão, dos quais 80 são defeituosos. O controle de qualidade vai inspecionar 20 aparelhos dessa remessa e vai aceitar a remessa se encontrar no máximo um defeituoso. Nosso objetivo é descobrir qual é a probabilidade de a remessa ser aceita.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é adequada quando estamos lidando com amostragem sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição hipergeométrica. Ela é usada para calcular a probabilidade de obtermos um certo número de sucessos em uma amostra sem reposição de uma população finita que contém um número conhecido de sucessos e falhas.
No nosso caso:
- População total (N): 800 estabilizadores.
- Sucessos na população (K): 80 defeituosos.
- Tamanho da amostra (n): 20 aparelhos.
- Número de sucessos na amostra (k): pode ser 0 ou 1 (já que queremos no máximo um defeituoso).
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações de elementos dentre .
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de não encontrar nenhum defeituoso na amostra de 20 aparelhos (
).
Sabemos que
, então:
Isso representa a proporção de maneiras de escolher 20 aparelhos que não são defeituosos em relação ao total de maneiras de escolher 20 aparelhos.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente um defeituoso na amostra (
).
Aqui,
, então:
Isso representa a proporção de maneiras de escolher exatamente um defeituoso e 19 não defeituosos em relação ao total de maneiras de escolher 20 aparelhos.
Passo 5
A probabilidade de a remessa ser aceita é a soma das duas probabilidades que calculamos:
Substituindo os valores:
Calculando esses valores usando uma calculadora ou software adequado, obteremos a probabilidade desejada.
Resposta
A probabilidade de a remessa ser aceita é a soma das probabilidades de encontrar nenhum defeituoso ou um defeituoso na amostra de 20 aparelhos, conforme calculado acima.