Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma remessa de 800 estabilizadores de tensão, dos quais 80 são defeituosos. O controle de qualidade vai inspecionar 20 aparelhos dessa remessa e vai aceitar a remessa se encontrar no máximo um defeituoso. Nosso objetivo é descobrir qual é a probabilidade de a remessa ser aceita.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é adequada quando estamos lidando com amostragem sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição hipergeométrica. Ela é usada para calcular a probabilidade de obtermos um certo número de sucessos em uma amostra sem reposição de uma população finita que contém um número conhecido de sucessos e falhas.
No nosso caso:
  • População total (N): 800 estabilizadores.
  • Sucessos na população (K): 80 defeituosos.
  • Tamanho da amostra (n): 20 aparelhos.
  • Número de sucessos na amostra (k): pode ser 0 ou 1 (já que queremos no máximo um defeituoso).
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomKk dbinomN - Kn - kdbinomNn
onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações de elementos dentre .

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de não encontrar nenhum defeituoso na amostra de 20 aparelhos ( P(X = 0) = dbinom800 dbinom72020dbinom80020 ).
P(X = 0) = dbinom72020dbinom80020
Sabemos que , então:
Isso representa a proporção de maneiras de escolher 20 aparelhos que não são defeituosos em relação ao total de maneiras de escolher 20 aparelhos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente um defeituoso na amostra ( P(X = 1) = dbinom801 dbinom72019dbinom80020 ).
P(X = 1) = 80 times dbinom72019dbinom80020
Aqui, , então:
Isso representa a proporção de maneiras de escolher exatamente um defeituoso e 19 não defeituosos em relação ao total de maneiras de escolher 20 aparelhos.

Passo 5

A probabilidade de a remessa ser aceita é a soma das duas probabilidades que calculamos:
P(aceitação) = P(X = 0) + P(X = 1) çã
Substituindo os valores:
P(aceitação) = dbinom72020dbinom80020 + 80 times dbinom72019dbinom80020 çã
Calculando esses valores usando uma calculadora ou software adequado, obteremos a probabilidade desejada.

Resposta

A probabilidade de a remessa ser aceita é a soma das probabilidades de encontrar nenhum defeituoso ou um defeituoso na amostra de 20 aparelhos, conforme calculado acima.

Exercícios relacionados