Um remo comporta-se como uma viga (corpo essencialmente sujeito a flexão); pretendendo-se uma viga com rigidez específica e peso mínimo. Para a seleção de materiais para remos, qual o índice M que se deve considerar sem atender ao custo? E atendendo ao custo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a seleção de materiais para remos, que são como vigas sujeitas à flexão. O objetivo é escolher um material que tenha rigidez específica alta e peso mínimo. A gente precisa entender qual é o índice $ M $ que devemos considerar para essa seleção, tanto sem levar em conta o custo quanto levando. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especialmente sobre rigidez e peso de vigas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a rigidez de uma viga em flexão é relacionada ao módulo de elasticidade $ E $ do material e ao momento de inércia $ I $ da seção transversal da viga. A rigidez específica considera a relação entre $ E $ e a densidade $ \rho $ do material.
Passo 3
Para minimizar o peso e maximizar a rigidez específica, queremos um material que tenha um alto módulo de elasticidade $ E $ e baixa densidade $ \rho $. Então, o índice $ M $ sem considerar o custo pode ser definido como:
Esse índice nos dá uma medida de rigidez por unidade de peso.
Passo 4
Agora, se a gente precisa considerar o custo dos materiais, além de $ E $ e $ \rho $, precisamos também levar em conta o custo por unidade de massa $ C $ do material. Assim, o índice $ M $ que considera o custo seria ajustado para balancear rigidez, peso e preço.
Passo 5
Uma forma de incorporar o custo é definir o índice $ M $ como a relação entre $ E $ e o produto de $ \rho $ e $ C $. Assim, temos:
Esse índice nos ajuda a escolher materiais que não só têm boa rigidez específica, mas também são econômicos.
Resposta
Então, para selecionar os materiais dos remos:
-
Sem considerar o custo: Utilizamos o índice $ M = \frac{E}{\rho} $, priorizando materiais com alta rigidez e baixo peso.
-
Considerando o custo: Utilizamos o índice $ M = \frac{E}{\rho \times C} $, equilibrando rigidez, peso e custo do material.