Sabendo que determinada área vale 9/7.a.b, e que seu centróide tem as seguintes coordenadas ( barx=5 / 7.a e bary=7 / 8 b ) determine o volume quando da rotação da área em torno do eixo x. Dica: use o teorema de Pappus-Guldinus. Apesar deste assunto não fazer parte da 1^a VA, pode ser facilmente resolvido, basta verificar a apresentação 1C já enviada no SIGAA.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma área cujo valor é 97 cdot a cdot b. O centróide dessa área tem coordenadas barx = 57a e bary = 78b. Nosso objetivo é descobrir o volume que essa área gera quando é girada em torno do eixo x. Para isso, vamos usar o Teorema de Pappus-Guldinus, que conecta a área de uma figura plana com o volume gerado pela rotação dessa figura em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Pappus-Guldinus. Ele nos diz que o volume V gerado pela rotação de uma área A em torno de um eixo é igual à área A multiplicada pela distância percorrida pelo centróide durante essa rotação. Matematicamente, isso é expresso como:
V = 2pi cdot bary cdot A
Aqui, bary é a distância do centróide ao eixo de rotação, que no nosso caso é o eixo x.

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos. Sabemos que a área A = 97 cdot a cdot b e que bary = 78b. Como vamos girar em torno do eixo x, usamos a coordenada y do centróide para calcular a distância percorrida.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do Teorema de Pappus-Guldinus com os valores que temos:
V = 2pi cdot (78b) cdot (97a cdot b)
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Primeiro, multiplicamos os coeficientes:
2 cdot pi cdot 78 cdot 97 = 2 cdot pi cdot 6356 = 2 cdot pi cdot 98 = 188pi = 94pi
Em seguida, multiplicamos as variáveis:
b cdot a cdot b = a cdot b^2
Então, o volume fica:
V = 94pi cdot a cdot b^2

Resposta

O volume obtido pela rotação da área em torno do eixo x é 94pi cdot a cdot b^2.

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