Sabendo que determinada área vale 9/7.a.b, e que seu centróide tem as seguintes coordenadas (
.a e
) determine o volume quando da rotação da área em torno do eixo x. Dica: use o teorema de Pappus-Guldinus. Apesar deste assunto não fazer parte da
, pode ser facilmente resolvido, basta verificar a apresentação 1C já enviada no SIGAA.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma área cujo valor é
. O centróide dessa área tem coordenadas
e
. Nosso objetivo é descobrir o volume que essa área gera quando é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o Teorema de Pappus-Guldinus, que conecta a área de uma figura plana com o volume gerado pela rotação dessa figura em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Pappus-Guldinus. Ele nos diz que o volume
gerado pela rotação de uma área
em torno de um eixo é igual à área
multiplicada pela distância percorrida pelo centróide durante essa rotação. Matematicamente, isso é expresso como:
Aqui,
é a distância do centróide ao eixo de rotação, que no nosso caso é o eixo
.
Passo 3
Vamos identificar os valores que precisamos. Sabemos que a área
e que
. Como vamos girar em torno do eixo
, usamos a coordenada
do centróide para calcular a distância percorrida.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula do Teorema de Pappus-Guldinus com os valores que temos:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 5
Primeiro, multiplicamos os coeficientes:
Em seguida, multiplicamos as variáveis:
Então, o volume fica:
Resposta
O volume obtido pela rotação da área em torno do eixo
é
.