Reparametrize as curvas dadas, pelo comprimento de arco.
\gamma(t)=\left(-1,-t^{2}, t^{3}, 2\right), t \in[0,1];

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
\gamma(t)=\bigl(-1,\,-t^{2},\,t^{3},\,2\bigr), t\in[0,1], pelo comprimento de arco. O conteúdo envolvido é: calcular a velocidade \gamma'(t), obter o módulo \|\gamma'(t)\|, integrar para achar o comprimento s(t) e depois inverter essa relação para expressar t em função de s.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada
\gamma'(t)=\bigl(0,\,-2t,\,3t^{2},\,0\bigr)
e o seu módulo
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{0^{2}+(-2t)^{2}+(3t^{2})^{2}+0^{2}} =\sqrt{4t^{2}+9t^{4}} =t\sqrt{4+9t^{2}}.

Passo 3

Agora achamos o comprimento de arco a partir de t=0 até um t, isto é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\gamma'(\tau)\|\,d\tau =\int_{0}^{t}\tau\sqrt{4+9\tau^{2}}\,d\tau.
Fazendo a substituição u=4+9\tau^{2}, du=18\tau\,d\tau, obtemos
s(t) =\frac{1}{18}\int_{u(0)=4}^{u(t)=4+9t^{2}}\sqrt{u}\,du =\frac{1}{27}\Bigl[(4+9t^{2})^{\tfrac{3}{2}}-4^{\tfrac{3}{2}}\Bigr] =\frac{(4+9t^{2})^{\tfrac{3}{2}}-8}{27}.

Passo 4

Precisamos inverter s(t). Igualando
27\,s+8=(4+9t^{2})^{\tfrac{3}{2}}
temos
4+9t^{2}=(27\,s+8)^{\tfrac{2}{3}} \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{(27\,s+8)^{\tfrac{2}{3}}-4}{9}
e, como t\ge0,
t(s)=\frac{1}{3}\sqrt{\,(27\,s+8)^{\tfrac{2}{3}}-4\,},
com s\in\bigl[0,\,(13)^{\tfrac{3}{2}}-8\over27\bigr]=\bigl[0,\,(13\sqrt{13}-8)/27\bigr].

Passo 5

Finalmente, a reparametrização pelo comprimento de arco é
\widetilde\gamma(s) =\gamma\bigl(t(s)\bigr) =\Bigl(-1,\,-\bigl[t(s)\bigr]^{2},\,\bigl[t(s)\bigr]^{3},\,2\Bigr),
onde
t(s)=\frac{1}{3}\sqrt{\,(27\,s+8)^{\tfrac{2}{3}}-4\,}, \qquad 0\le s\le\frac{13\sqrt{13}-8}{27}.

Resposta

\widetilde\gamma(s) =\Bigl(-1,\,-\tfrac{1}{9}\bigl[(27s+8)^{\tfrac{2}{3}}-4\bigr],\, \tfrac{1}{27}\bigl[(27s+8)^{\tfrac{2}{3}}-4\bigr]^{\tfrac{3}{2}},\,2\Bigr), \quad 0\le s\le\frac{13\sqrt{13}-8}{27}.

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