Reparametrize as curvas dadas, pelo comprimento de arco.
\gamma(t)=\left(t, 2 t, t^{2}\right), t \in[1,2];

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
\gamma(t)=(t,\,2t,\,t^2),\quad t\in[1,2]
de modo que o novo parâmetro seja o comprimento de arco s, medido a partir de t=1. O conteúdo usado será: (i) cálculo de \gamma'(t) e seu módulo, (ii) definição de comprimento de arco
s(t)=\int_{1}^{t}\bigl\|\gamma'(u)\bigr\|\,du,
(iii) inverter s(t) para obter t(s), e por fim (iv) escrever \alpha(s)=\gamma\bigl(t(s)\bigr).

Passo 2

Calculemos primeiro
\gamma'(t)=\bigl(1,\,2,\,2t\bigr),
de onde
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+2^2+(2t)^2} =\sqrt{5+4t^2}.

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, o comprimento de arco desde t=1 até um parâmetro genérico t é
s(t) =\int_{1}^{t}\sqrt{4u^2+5}\,du.
Essa integral pode ser obtida por substituição hiperbólica ou tabelas. O resultado em forma fechada é
s(t) =\frac12\,t\sqrt{4t^2+5} +\frac54\ln\bigl(2t+\sqrt{4t^2+5}\bigr) -\Bigl(\tfrac32+\tfrac54\ln5\Bigr),
de modo que s(1)=0.

Passo 4

Chamando de L o comprimento total em t=2, temos
L=s(2) =\int_{1}^{2}\sqrt{4u^2+5}\,du.
O valor exato de L é
L =\frac12\cdot 2\sqrt{4\cdot2^2+5} +\frac54\ln\bigl(4+\sqrt{21}\bigr) -\Bigl(\tfrac32+\tfrac54\ln5\Bigr).
Assim s varia em [0,L].

Passo 5

Para reparametrizar, invertamos a relação s=s(t). Definimos t=t(s) como a função inversa de
s(t)=\int_{1}^{t}\sqrt{4u^2+5}\,du.
Finalmente, a parametrização pelo comprimento de arco é
\alpha(s) =\gamma\bigl(t(s)\bigr) =\bigl(t(s),\,2\,t(s),\,t(s)^2\bigr), \quad s\in[0,L].

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é
\boxed{ \alpha(s) =\bigl(t(s),\,2\,t(s),\,t(s)^2\bigr), \quad s\in[0,L], }
onde t(s) é a inversa de
s(t) =\int_{1}^{t}\sqrt{4u^2+5}\,du
e
L =\int_{1}^{2}\sqrt{4u^2+5}\,du.

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